Intégrales

[Thomas]

Désolé, mais je ne vois absolument ce que veut dire minorer le dénominateur.
Pouvez-vous expliquer avec plus de détails.
Merci d'avance.

[SoS-Math(34)]

Minorer la fonction f sur I signifie chercher un nombre m plus petit que toutes les images f(x) sur l'intervalle I
m est tel que f(x) >= m pour tout réel x.

Majorer f(x)... tu peux donc deviner.

Pour majorer une fonction de forme 1/u, on peut commencer par minorer le dénominateur.
exemple : si f(x) = 1/(x² + 2) sur IR.
pour tout réel x, x²>=0 donc x² + 2 > = 2
or la fonction inverse est décroissante sur [2;+inf[ donc 1/(x² + 2) =< 1/2 sur cet intervalle soit f(x) =<1/2.

Il te reste de la même façon à trouver un nombre très simple m tel que (x+1)(1+x+x^n) >= m pour tout x de [0;1]

Bonne recherche,
Sosmaths

[Thomas]

Je ne suis pas très sûr :

( 1 + X ) * ( 1 + X + X^n) <= 5
Donc f(x) < 1/5.

Je ne pense pas que ce soit correct.
Merci de vos explications.

[SoS-Math(34)]

Attention:
x est compris entre 0 et 1 donc 1+x est compris entre 1 e 2.
de même, 1 + x + x^n est compris entre 1 et 3.
donc (1+x)(1+x+x^n) est compris entre 1*1 = 1 et 2*3 = 6
donc les inverses f(x) sont compris entre...

L'objectif est de trouver un nombre plus petit que le dénominateur pour trouver un réel plus grand que l'inverse de ce dénominateur.

bonne recherche
sosmaths

[Thomas]

Bonjour,

J'ai réussi à trouver entre quel nombre et quel nombre est compris l'inverse de f(x).
Je n'ai pas compris l'objectif à atteindre, la dernière phrase que vous avez écrite. Pouvez-vous la reformuler ?

Merci d'avance.

[SoS-Math(34)]

Bonjour Thomas,

Il te reste à encadrer f(x) en multipliant chaque terme de ton inégalité par le numérateur de f(x).
Reste à savoir le signe de ce numérateur sur [0;1] pour en déduire si les inégalités changent de sens.

ensuite, tu auras un encadrement i(x)=< f(x) )< g(x) avec i et g qui sont deux fonctions relativement simples (dans le sens où tu peux en calculer facilement une primitive)
L'intégrale conservant l'ordre des inégalités, l'encadrement (*) est valable pour les intégrales des trois fonctions.
Tu obtiendras donc un encadrement de l'intégrale de f sur [0;1].

Il restera à calculer la limite quand n tend vers +inf des intégrales de i et de g...
un fameux théorème sur les limites permettra d'en déduire celle de l'intégrale de f sur [0;1]

somaths

[Thomas]

Bonjour,

Je ne suis pas sûr d'avoir totalement compris vos remarques,
Voici ce que j'ai fait, mais je ne vois pas comment continuer.

Merci d'avance de votre réponse.

[SoS-Math(34)]

Bonjour,

C'est bien. Dans ta dernière ligne, il manque lesymbole intégrale dans le membre situé au milieu de l'encadrement.
Calcule maintenant les bornes A et C de ton encadrement A < B < C.
Tu as trouvé les bonnes primitives, utilise-les, calcule F(1) - F(0) dans chaque cas.

Le théorème d'encadrement pour les limites permettra de conclure.

Sosmaths

[Thomas]

Je pense avoir fini l'exercice, mais je ne suis pas sûr de ma réponse et de mon raisonnement.
Pouvez-vous m'éclairer ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Thomas,

ce que tu as fait est bien … sauf la conclusion !
Tu as montrer que \(\lim_{n \to +\infty} ln(2) - u_n = 0\) et non \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\) ...

SoSMath.