Suites arithmétiques

[Clara]

Bonjour, j'ai un devoir à rendre pour vendredi et je rencontre quelques problèmes sur mes exercices.
Voici l'énoncé:
Soit (un) la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n >/=1 : un+1 = 5un/2un+5
On admet que pour tout entier n, un est différent de 0

1. a) Calculer u1, u2 et u3.
J'ai trouvé u1 = 5/7, u2 = 5/9 et u3 = 5/11

b) Justifier que (un) n'est pas arithmétique.
J'ai justifié avec la méthode du u1-u0 est différent de u2-u1

2. La suite (un) vérifie la relation de récurrence : un+1 = f(un)
a) Donner la fonction numérique f correspondante.
f(x)=5x/2x+5

3. On pose pour tout entier naturel n : vn = 5/un +3
a) Calculer v0
J'ai trouvé que v0 valait 8

b) Prouvez que la suite (vn) est arithmétique. On précisera la raison et le premier terme.
J'ai utilisé la méthode vn+1-vn, et j'ai trouvé 2 pour la raison et donc 8 pour le premier terme.

c) En déduire vn puis un en fonction de n
J'ai trouvé vn= v0+ n x r= 8+n x 2 = 8+2n

Par contre je n'ai pas trouvé pour un en fonction de n et je suis donc bloquée pour faire une autre question qui est d'étudier le sens de variation de la suite (un)

Enfin pour la dernière question: Exprimer en fonction de n la somme Sn = v0 + v1 + ... + vn.
J'ai trouvé Sn= (n+1) x v0+vn/2

[SoS-Math(34)]

Bonsoir Clara,

Pour la question, 3) c) et l'expression de Un en fonction de n, utilise le fait que Vn = 8 + 2n et que Vn = 5/Un + 3.
Que peux-tu en déduire pour 8 + 2n et 5/Un + 3?
Il te restera alors à isoler Un pour obtenir son expression (c'est à dire obtenir Un = ...).

Pour le 4), Sn = (n+1) (V0 + Vn)/2, n'oublie pas tes parenthèses quand tu écris ton calcul en ligne.
Il suffit alors de remplacer V0 et Vn par leurs valeurs et tu pourras mêmes simplifier/réduire l'expression obtenue.

Bonne recherche
Sos-maths

PS: Lorsque tu envoies une nouvelle question sur ce site, pense à finir ton message avec une formule du type..."merci".

[Clara]

Bonsoir,
Grâce à votre aide, j'ai donc trouvé pour le 3. e) que Sn valait (n+1) (2n+16)/2

Par contre pour le 3. c), je suis encore coincée. J'ai donc mis que 8+2n = 5/Un +3
Or je me retrouve avec -5/Un = -2n-5. Est-ce que je dois donc multiplier -2n-5 par -5 et donc trouver que Un= 10n+25 ?

[SoS-Math(33)]

Bonjour Clara,
tu as \(\Large\frac{-5}{U_n} = \normalsize -2n-5\)
ce qui te donne en utilisant le produit en croix : \({U_n} = \Large\frac{-5}{-2n-5} = \Large\frac{5}{2n+5}\)