Trouver la formule d'une pyramide à base carré

[Léa]

Bonjour,
Je suis actuellement en seconde et ma prof de maths fait complètement du hors programme donc je ne crois pas que ce que je vais vous demander est dans le programme de seconde.
Nous somme sur un chapitre de géométrie "Formules de longueurs, d'aires et de volumes".

Mon exercice consiste à trouver la formule de la hauteur d'une pyramide à base carrée à l'aide du théorème de Pythagore MAIS SANS LONGUEUR!!
Ma pyramide a une base carrée et tous les triangles sont équilatéraux et de longueur c (voir schéma ci-joint).
Je dois démontrer la formule comme dans mon cours.

Dans mon cours j'ai calculé la hauteur d'un triangle équilatéral (ABC) (voir figure ci-jointe) avec le théorème de Pythagore, on a noté:
AHC est un triangle rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore
\(AC^{2}\)=\(AH^{2}\)+\(HC^{2}\)
\(c^{2}\)=\(h^{2}\)+\(\left(\frac{c}{2}\right)^2\)
\(c^{2}\)-\(\frac{c^{2}}{4}\)=\(h^{2}\)
\(h^{2}\)=\(c^{2}\)\(\left(1-\frac{1}{4}\right)\)
\(h^{2}\)=\(c^{2}\)*\(\frac{3}{4}\)
donc \(\sqrt{h^{2}}\)=\(\sqrt{c^{2}*\frac{3}{4}}\) car \(h^{2}\)\(\geq\)0 et \(c^{2}*\frac{3}{4}\)\(\geq\)0
donc h=c*\(\sqrt{\frac{3}{4}}\) car h\(\geq\)0 et \(c*\frac{3}{4}\)\(\geq\)0
donc h=c*\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\)
donc h=\(\frac{c\sqrt{3}}{2}\)

En espérant que quelqu'un puisse m'aider, merci par avance.
Léa

[SoS-Math(33)]

Bonjour Léa,
Ce n'est pas hors programme, c'est du calcul littéral même principe avec les lettres qu'avec les nombres.

la hauteur de ta pyramide est SH, tu appliques donc le théorème de Pythagore dans le triangle SHA et tu as :
SA²=SH²+HA²
Je te laisse poursuivre le calcul.

[Léa]

J'ai \(SA^{2}\)=\(SH^{2}\) +\(HA^{2}\)
\(c^{2}\)=\(h^{2}\)+\(HA^{2}\)

Or, il faut calculer la diagolnale DB puis diviser par 2 donc le triangle SAB est rectangle en A, donc d'après le théorème de pythagore,
\(DB^{2}\)=\(DA^{2}\)+\(AB^{2}\)
\(DB^{2}\)=\(c^{2}\)+\(c^{2}\)

et là je suis coincé puisque \(c^{2}\)+\(c^{2}\) ne se calcule pas

[SoS-Math(33)]

\(c^2+c^2 = 2c^2\)
donc tu as \(DB^2 = 2c^2\)
d'où \(DB = \sqrt{2c^2}=c\sqrt{2}\)

[Léa]

DB/2=HB car les diagoles d'un carré se coupent en leur milieu
c\(\sqrt{2}\)/2=\(\frac{c\sqrt{2}}{2}\)

donc \(c^{2}\)=\(h^{2}\)+\(\frac{c\sqrt{2}}{2}\)
\(h^{2}\)=\(c^{2}\)-\(\frac{c\sqrt{2}}{2}\)
\(h^{2}\)=\(\frac{2c^{2}-c\sqrt{2}}{2}\)
\(\sqrt{h^{2}}\)=\(\sqrt{\frac{2c^{2}-c\sqrt{2}}{2}}\)
h=\(\frac{\sqrt{2c^{2}}-\sqrt{c\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\)
h=\(\frac{\sqrt{2}*c-\sqrt{c}*\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
h=\(\frac{c-\sqrt{c}}{\sqrt{2}}\)

Est ce que ca serait ca??

[SoS-Math(33)]

Attention tu as oublié que c'est \(HA^2\) donc \((\frac{c\sqrt{2}}{2})^2\)

[Léa]

donc \(\left(\frac{c\sqrt{2}}{2}\right)^2\) est le résulat final?

[Léa]

Bonjour,

Je souhaitais vous remercier de votre aide parce que que ducoup de un j'ai réussi mon exercice en comprenant tout et de deux, j'ai eu tout bon.
Merci encore
Léa

[SoS-Math(33)]

Merci Léa,
le forum est la pour ça et ton retour nous encourage à continuer ainsi.
Bonne soirée
A bientôt sur le forum
SoS-math.