Exercice de spécialité

[Krayz]

Bonjour,

Actuellement, tout objet fabriqué a un code formé de 13 chiffres.

Les douze premiers chiffres désignent le produit et le treizième est calculé à partir des douze chiffres précédents de la façon suivante : Pour le code C : $a_1a_2...a_{12}, a_{13}$ est défini par la propriété :

$3 \times \sum_{k=1}^{6} a_{2k} + \sum_{k=0}^{6}a_{2k+1} soit 3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13}) est divisible par 10.$

1) a) Vérifier cette formule pour le code C : 9 782701 158334.
b) Que peut-on dire de C_1 : 9 782701 157334 et C_2 : 9 782707158334 ?
c) On a interverti deux chiffres consécutifs : C_3 : 9 782701 153834. Ce code vérifie-t-il la formule ? Que peut-on en déduire ?

Remarque : Le treizième chiffre est appelé la clé de contrôle du code.

2) a) Déterminer la clé de contrôle $x$ du code-bares 325 1241 04176 $x$.
b) Donner un code-barres différent ayant la même clé de contrôle.
c) On pose N = $3 \times \sum_{k=1}^{6} a_{2k} + \sum_{k=0}^{6}a_{2k+1}$ et on note $u$ le chiffre des unités de N. Montrer que $a_{13}$ = 10 - $u$.

3) a) Démontrer que si un seul des chiffres est erroné, l'erreur est détectée.
b) On suppose que deux chiffres consécutifs ont été intervertis. L'erreur sera-t-elle détectée ?

4) Déterminer le chiffre manquant du code 325 2$x$37 04176 7.

Mes réponses :

1) a) $C = 3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})$
$= 3(7+2+0+1+8+3)+(9+8+7+1+5+3+4)$
$= 100$

Or, 10 | 100 ce qui signifie que le code C est correct.

1) b) $C_1$ = $3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})$
$= 3(7+2+0+1+7+3)+(9+8+7+1+5+3+4)$
$= 97$

Or, $10 \nmid 97$ ce qui signifie que le code $C_1$ est incorrect.

$C_2$ = $3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})$
$= 3(7+2+0+1+8+3)+(9+8+7+7+5+3+4)$
$= 106$

Or, $10 \nmid 106$ ce qui signifie que le code $C_2$ est incorrect.

1) c) Après calculs, $C_3 = 90$.
Or, 10 | 90 donc $C_3$ vérifie la formule (code barre valide). On en déduit que la clé de contrôle est responsable de la validité du code barre.

[sos-math(21)]

Bonjour,
pour l'instant, tes réponses me semblent correctes.
Bonne continuation

[Krayz]

Pour la déduction de la question 1 c je ne suis pas certain d'avoir répondu la bonne chose.

[sos-math(21)]

Bonjour,
dans la question 1c, avec l'exemple traité, on remarque que l'interversion de deux chiffres consécutifs donne d'un côté un code correct et de l'autre un code incorrect.
Donc on peut penser que la clé détecte les inversions de chiffres consécutifs..... mais il faudrait le prouver, c'est le sens de la question 3.
Bonne continuation

[Krayz]

On en déduit que si la différence (en valeur absolue) entre deux chiffres consécutifs est 5 alors la permutation conserve la validité.

[sos-math(21)]

Effectivement, tu dois obtenir que la différence entre les deux chiffres permutés doit être divisible par 5.
Ce qui signifie qu'une erreur d'inversion n'est pas toujours détectée puisque la clé peut rester la même.
Bonne continuation

[Krayz]

Concernant la question suivante, j'ai calculé la somme des chiffres de rang pair que j'ai par la suite x 3 puis j'ai calculé la somme des chiffres de rang impair et additionné les deux sommes puis j'ai fait la division euclidienne de ce résultat par 10.

64=6*10+4

x=10-r
x=10-4
x=6

[sos-math(21)]

Bonjour,
tu parles de quelle question ?
Je ne comprends pas ton calcul....

[Krayz]

Bien le bonjour d'ailleurs :)

Merci de m'avoir répondu.

Il s'agit de la question 2) a) dans laquelle il faut déterminer la clé de contrôle notée $x$ du code-barres $325 1241 04176 x$.

Vous trouverez ci-dessous ma réponse à cette question :

• - Dans un premier temps, j'ai calculé la somme des chiffres de rang pair du code-barres ce qui fait : $S_1 = 2+1+4+0+1+6 = 14$.

• - J'ai par la suite multiplié par 3 cette somme ce qui fait $14 \times 3 = 42$.

• - Ensuite, j'ai calculé la somme des chiffres de rang impair du code-barres ce qui nous donne : $S_2 = 3+5+2+1+4+7 = 22$.

• - J'ai additionné $S_1$ et $S_2$ ce qui fait 64.

• Je fais la division euclidienne de 64 par 10 : $64 = 6 \times 10 + 4$ avec $0 \le 4 < 10$.

• $x = 10 - r$.
  $x = 10 - 4$.
  $x = 6$.

[sos-math(21)]

Oui, c'est correct, je n'étais pas sur la bonne question.
Bonne continuation

[Krayz]

Merci de m'avoir répondu.

Concernant la question 2) b), il s'agit de donner un code-barres différent ayant la même clé de contrôle.

J'ai repris le code barre de la question précédente, soit : $325 1241 04176 6$ et j'ai permuté deux chiffres de rang impair et plus particulièrement les chiffres de rangs 3 et 5 ce qui donne :

$[tex]$322 1541 04176 6[/tex].

Afin de vérifier la validité de ce code barre, j'ai appliqué la propriété de l'énoncé, ce qui nous donne 70 qui est bien divisible par 10 et nous obtenons la même clé de contrôle 6 pour un code barre différent dans lequel la disposition des chiffres a été modifiée.

Est-ce correct ?

[sos-math(21)]

Ton travail est tout à fait correct, il faut poursuivre ainsi !

[Krayz]

Concernant la question 2) c), j'avoue avoir un peu plus de mal pour le démontrer "mathématiquement" même si la solution me paraît évidente.

C'est un peu le raisonnement que j'ai eu pour la question 2) a).

On a N = $3 \times \sum_{k=1}^{6} a_{2k} + \sum_{k=0}^{6}a_{2k+1}$ et admettons que ce N soit égal à 64 (c'est ce que j'ai fait en 2) a)) on prend le chiffre des unités, ici c'est le chiffre 4 et$a_{13}$correspond bien à $10 - 4 = 6$ ce que j'ai trouvé en 2) a) !

J'ai compris avec un exemple mais j'imagine qu'il faut le démontrer dans le cas général.

[sos-math(21)]

Il me semble qu'il y a une erreur d'énoncé :
pour moi, le nombre $N$ est donné par la "somme" des 12 premiers nombres (sans la clé $a_{13}$) : $N=3\times\sum_{k=1}^{6}a_{2k}+\sum_{k=0}^{5}a_{2k+1}$
Dans ce cas, le reste de la division euclidienne de $N$ par 10 est égal à $u$ : $N=10q+u$ avec $0\leqslant u<10$
Si $u=0$, alors ...
Sinon, il faut rajouter $a_{13}$ à $N$ pour qu'il soit divisible par 10 donc .....

[Krayz]

Il y a en effet une erreur d'énoncé, j'ai mal recopié ce dernier.

Le voici :

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Si $u = 0$, alors $a_{13} = 10$ mais ce n'est point possible car $10 \notin [|0 ; 9|]$.