exercice

[patricia]

Bonsoir, J ai un exercice à faire pourriez vous m'aider s'il vous plait

On définit la suite (un) par u0 = 1 et un+1 = 1/4un + 9

1. Calculer les quatre premiers termes de cette suite .
2. Conjecturer le sens de variations de (un) et une éventuelle limite .
3. Montrer par récurrence que pour tout n , un ≤ 12 .
4. Démontrer que la suite (un) est croissante .
5. On pose Vn = Un − 12 . Montrer que (Vn) est une suite géométrique .
6. Exprimer Vn en fonction de n puis en déduire l’expression de un en fonction de n .
7. On donne l’algorithme suivant :
Variables u :
réel n , i : entiers
Début de l’algorithme
Saisir n u prend la valeur 1 Pour i allant de 1 à n Faire
u prend la valeur 1/4 u + 9
FinPour
Sorties : Afficher u
Quel est le rôle de cet algorithme ?

Mes réponses:

1.Uo=1 U1=1/4+9=37/4 U2=1/4U1+9=181/16 U3=757/64
2.Un est croissante et semble tendre vers 12
3. Initialisation: pour n=0 , Un+1=1/4Un+9 <=> 1/4Uo+9 <=> 37/4 donc vérifié pour un rang n=0 car 37/4 =<12
Hérédité: Supposons que Un=<12
On sait que: Un+1=1/4Un+9
Un+1=1/4Un+9 =<12
"=1/4Un=<3
Un+1-1/4Un=<3
(4(Un+1)-Un)/4 =< 3
4Un+1-Un =< 12
Un =< 12
Je crois que mon résonnement n'est pas correct
Conclusion: Un =<12
4.On calcule: Un+1-Un <=> U1-Uo <=> 37/4 - 1 <=> 8.25
Donc 8.25>=0
Donc la suite est croissante
5. Suite géométrique est de la forme Vn+1/Vn = q
Vo=Uo-12 = -11
V1=U1-12 = -2.75
V1/Vo = 0.25 = 1/4
Donc q = 1/4 donc la suite est géométrique de raison q = 1/4 et de premier terme Uo=1
6. Vn= (1/4)^n*Vo
Un-12 = (1/4)^n*Vo <=> Un= ((1/4)^n*Vo) +12
^n= puissance n
7. Il calcule les valeurs de i allant de 1 à n pour la suite u=1/4u+9

Merci beaucoup de votre aide
Patricia

[sos-math(21)]

Bonjour,
le début semble correct.
Pour la récurrence, il faut que tu voies quelles opérations sont à faire pour passer de \(u_n\) à \(u_{n+1}\) : on fait d'abord une multiplication par \(\dfrac{1}{4}\) puis on ajoute 9.
Il faut donc que tu appliques ces calculs à l'inégalité donnée en hypothèse de récurrence : on suppose que pour un rang \(n\) quelconque que \(u_n\leqslant 12\).
Si on multiplie les deux membres de l'inégalité par \(\dfrac{1}{4}\), cela ne change pas le sens de l'inégalité et on obtient \(\dfrac{1}{4}u_n\leqslant 3\).
Puis on additionne 9 dans chaque membre : \(\dfrac{1}{4}u_n+9\leqslant 3+9\) donc on obtient bien \(u_{n+1}\leqslant 12\).
Pour la suite \(v_n\), on part de \(v_{n+1}=u_{n+1}-12=\dfrac{1}{4}u_n+9-12=\dfrac{1}{4}u_n-3\) et on peut ensuite factoriser par \(\dfrac{1}{4}\), on a donc :
\(v_{n+1}=\dfrac{1}{4}\left(u_n-....\right)=\dfrac{1}{4}....\) ce qui prouve bien que la suite est .... de raison ....
L'algorithme calcule un certain nombre de fois la valeur contenue dans la variable \(\texttt{u}\) en la remplaçant par 1/4 u+9, ce qui correspond au terme suivant dans la suite \(u_n\), donc finalement s'il s'arrête au rang \(n\), la variable \(\texttt{u}\) contient .....
Bonne continuation

[patricia]

Bonsoir
merci pour vos explications
la question 6 est-elle juste ?

L'algorithme calcule un certain nombre de fois la valeur contenue dans la variable u en la remplaçant par 1/4 u+9, ce qui correspond au terme suivant dans la suite un, donc finalement s'il s'arrête au rang n, la variable u contient la valeur maximale de i

merci encore
patricia

[sos-math(21)]

Bonjour,
votre conclusion ne correspond pas à ce que vous dites. La variable u contient les valeurs successives des termes de la suite donc si la boucle s'arrête à \(n\), la variable contient donc ...
Bonne conclusion

[patricia]

Bonjour

je reviens vers vous pour continuer
question 5
montrer que Vn est géometrique
Vn=Un-12
Vn+1= Un+1 - 12
= 1/4Un+9-12
= 1/4Un-3
Vn+1=1/4(Un-12)

Donc (Vn) est géométrique de raison q= 1/4

question 6

Un est <= a 12 donc Vn+1<=0 alors Vn+1/Vn=1/4
Et là je bloque

Merci de votre aide Patricia

[SoS-Math(33)]

Bonjour Patricia,
pour la question 6 : tu viens de montrer que Vn est géométrique donc tu peux calculer Vn en fonction de n.
Ensuite tu sais que Vn=Un-12 donc tu as aussi Un = Vn+12 et ainsi tu peux en déduire Un en fonction de n à partir de Vn

[patricia]

Bonjour
7 ) Vn est géométrique
donc Vn= Vo*1/4 ^nattention
on sait que Vn=Un-12
donc Un=(Vo*1/4^n)-12
8) L'algorithme calcule un certain nombre de fois la valeur contenue dans la variable U en la remplaçant par 1/4U+9 ce qui correspond au terme suivant de la suite Un, donc finalement s'il s’arrête au rang n, la variable U contient la liste des termes de la suite Un définie par récurrence.

merci de m'indiquer si ces deux dernières réponses sont justes

[patricia]

Bonsoir
je reviens vers vous
pour la question 7
Vn est géométrique donc Vn=Vo*1/4 ^n
on sait que Vn= Un-12 donc Un= Vn -12= (Vo*1/4^^n) -12

pour la question l’algorithme calcule un certain nombre de fois la valeur contenue dans la variable u en la remplaçant par 1/4 u +9 ce qui correspond au terme suivant de la suite Un, donc finalement s'il s'arrête au rang n, la variable u contient la liste des termes de la suite Un définie par récurrence.
j'ai vraiment beaucoup de mal avec les algo car mon professeur de première ne nous en a pas fait faire.
merci encore de votre aide

[patricia]

Bonjour de nouveau
pour la question 6
Vn est géométrique
Donc Vn=Vo*(1/4)^n
on sit que Vn= Un-12
Donc Un= Vn +12
Un=(v0*1/4^n) +12
pour la question 8
l'algorithme calcule un certain nombre de fois la valeur contenue dans la variable U en la remplaçant par 1/4U+9 ce qui correspond au terme suivant de la suite Un, donc finalement s'il s'arrête au rang n, la variable u contient la liste des termes de la suite Un définie par récurrence.

merci de m'aider, et de m'indiquer quel livre je pourrais acheter pour m'entrainer sur les algorithme car je n'en ai pas fait en première
encore merci
patricia

[SoS-Math(31)]

Bonjour Patricia,
C'est bien pour la question 6), "expression de un en fonction de n".
La valeur de u change à chaque boucle. En fait, l'affichage est inscrit après la fin de la boucle Voir "fin du pour" donc l'algorithme n'affiche que le dernier terme de u c-à-d \(u_{n}\)