Intégrales

[p.blts]

Bonjour , j'ai un exercice de maths à faire , malheureusement je suis bloquée à partir d'une question .
Soit f la fonction définir sur R par : f(x) = 4e^(x)/e^(x)+1
1-a ) Montrer que la courbe C représentative de f dans un repère orthonormé admet deux asymptotes .
1- b )Tracer la courbe C ainsi que ses asymptotes .
2) a - Pour tout nombre entier naturel non nul n , on pose :Un=∫ ln(n) à ln(n+1) de f(x) dx
Donner une interprétation en terme de d'aire de Sn et déduire une expression simple de Sn : voici ce que j'ai fait :
En appliquant la relation de Chasles , on obtient Sn = ∫ln(1) à ln(n+1) de f(x) dx
F(x) = 4ln(1+e^(x))
on a donc [4ln(1+e^(x))]ln(1) à ln(n+1)
après calcul j'obtient : Sn = 4ln(2+n/2)
Jusqu'ici aucun problème c'est aux deux dernières questions que je suis bloquée :
3) Calculer en unités d'aires A(n) du domaine délimité par la courbe C , les droites d'équations y=4 ,x=0 et x= ln(n+1).
4) Déterminer la limité de A(n) lorsque n tend vers +∞.
Merci d'avance pour votre aide .

[SoS-Math(33)]

Bonjour p.blts,
Si je comprends bien au départ tu définis une suite \(U(n)\) de terme général \(U_n = \int_{ln(n)}^{ln(n+1)}f(x)dx\)
et ensuite \(S_n\) qui est la somme des termes de la suite et tu obtiens : \(S_n = \int_{ln(1)}^{ln(n+1)}f(x)dx\)

Pour la primitive de \(f(x)\) je trouve comme toi et pour \(S_n = [4ln(1+e^x)]^{ln(n+1)}_{ln(1)}\) je trouve aussi \(4ln(\frac{2+n}{2})\)

Pour le 3) cela revient à calculer \(\int_{0}^{ln(n+1)}(4-f(x))dx\) en unité d'aire

Cela te débloque t-il?

[p.blts]

ouii , je comprend mieux , en fait je n'avais pas compris le sens de la question :
on cherche donc la primitive de 4-f(x):
je trouve F(x) = 4x- 4ln(1+e^x)
donc on calcule : [4x- 4ln(1+e^x)] de 0 à ln(n+1)
= [4ln (n+1) - 4ln (1+e^ln(n+1))] - [(4*0)- 4ln(1+e^0)]
= 4ln(n+1)- 4ln(n+2) + 4 ln(2)
ce qui donne 4ln (2+ (n+1/n+2))

est ce bien cela ?

[SoS-Math(33)]

Ton calcul semble correct sauf à ta dernière ligne où je pense que c'est une erreur d'inattention au moment de la frappe,
tu dois trouver : A(n) = \(4ln(2\times \frac{n+1}{n+2})\) = \(4ln(\frac{2n+2}{n+1})\).
Il ne te reste plus que le calcul de la limite.

[p.blts]

Oui , excusez moi c’était bien une erreur de frappe .
Merci beaucoup pour votre aide .

[SoS-Math(33)]

Bonne journée
A bientôt, peut être, sur le forum
SoS-math