DM terminale S

[Elodie]

Bonjour, voici un exercice sur lequel j'aimerai que l'on m'aide:

On considère la suite (Un) définie par U0=3 et Un+1=f(Un) pour tout n appartenant à N où f est la fonction définie sur R\{5/12} par f(x)=(-60x+68)/(-12x+5).

1) Étudier les variations de f.

J'ai trouvé que la fonction f est une fonction homographique de la forme (ax+b)/(cx+d).
On calcule D=ab-cd afin de déterminer si la fonction est strictement croissante ou décroissante.
On trouve D=-4020
Donc f est strictement décroissante sur tout domaine inclus soit dans ]-infini;5/12[ soit dans ]5/12;+infini[.

2) Montrer que si x appartient à [2;4] alors f(x) appartient à [2;4].

Je pensais qu'il fallait calculer f(2) et f(4) et par la suite, comme la fonction est strictement décroissante, qu'il fallait montrer que f(2)>f(x)>f(4).
Mais je me retrouve avec f(2)=2.7<f(4)=4
Comment faire ?

3) En déduire que Un est bornée par 2 et 4.

Je n'ai pas vraiment compris cette question.

4)a) Montrer que Un+1-Un=(12Un²-65Un+68)/(-12Un+5)

Cette question n'est pas vraiment compliquée.

b)Dresser le tableau de signe de Un+1-Un.

J'imagine qu'il faut d'abord trouver le signe de (12Un²-65Un+68) et (-12Un+5) sur l'intervalle [2;4] et ensuite utilisé la règle des signes.

c) En déduire que (Un) est croissante.

Est-ce que lorsque je donne le signe de Un+1-Un je peux déterminer que (Un) est croissante par la même occasion ?

5)Que peut-on en déduire sur le comportement de (Un) quand n tend vers +infini ?

Je n'ai pas compris cette question.

Je vous remercie d'avance de votre aide,

Elodie

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Elodie,

Aucun résultat général sur les fonctions homographiques n'est au programme de terminale... Ici, il faut calculer la dérivée de cette fonction et déterminer son signe pour conclure. Je t'invite à procéder ainsi, cela évitera les erreurs...

A bientôt

[Elodie]

Afin de calculer la dérivée de la fonction f, dois-je utiliser la formule u/v ?

[SoS-Math(7)]

Effectivement, c'est cette formule qui te permettra de calculer la dérivée de f.

A bientôt

[Elodie]

D'accord, merci.

[Léo]

Comment fais on la 4)a

[sos-math(27)]

Bonsoir Léo,
Il faut utiliser la définition de la suite \(u_{n+1}=f(u_n)\)et celle de la fonction \(f(x)=\frac{-60x+68}{-12x+5}\)
On doit donc substituer \(x\) par \(u_n\) dans l'expression de \(f\).

J'espère que cela te permettre de continuer.
à bientôt