trigonométrie

[ulrich]

bsr Msr. svp aidez moi à résoudre le système suivant :
sin(x+y)=2x
sin(x-y) =2y.
j'ai essayé de développer j'obtiens
sinxcosy=x+y
sinycosx=x-y
mais je ne sais comment continuer. merci

[SoS-Math(31)]

Bonjour Ulrich,
il y a les formules trigonométriques mais aussi les connaissances sur la fonction sin :
on sait |sint|\(\leq\)t (1)
Ecris sin²(x+y) +sin²(x-y) en fonction de x et y puis majores l'expression en utilisant (1).

[ulrich]

slt Mrs.j'ai suivit votre conseil et j'ai obtenu
\(\left\{ \begin{matrix} sin^{2}(x+y)=4x^{2}\\ sin^{2}(x-y)=4y^{2}\\ \end{matrix} \right.\)
puis j'ai appliqué le theoreme de l'inegalité triangulaire pour avoir:
!\(sin^{2}(x+y)+sin^{2}(x-y)\)!\(\leq\)!\(sin^{2}(x+y)!+!sin^{2}(x-y)\)!
et j'ai utilisé le (1) jai eu \((x+y)^{2}+(x-y)^{2}\)=4(\(x^{2}+y^{2}\)).
c'es la ou je ne comprend plus rien ca donne x=0 et y=0.merci

[SoS-Math(31)]

sin²(x+y) + sin²(x-y) = 4x² + 4y² mais comme|sin²(x+y) + sin²(x-y)| \(\leq\) |sin²(x+y)| + |sin²(x-y)|\(\leq\) (x+y)² + (x-y)² c-à-d. |sin²(x+y) + sin²(x-y)| \(\leq\) 2x² + 2y² on a 4x² + 4y² \(\leq\) 2x² + 2y² d'où 2x² + 2y² \(\leq\) 0 donc x² = y² = 0 on a bien une seule solution (x,y) = (0;0)

[ulrich]

slt Mrs.Donc j'avais meme trouvé!!!!.Je vous remerci pour l'aide

[SoS-Math(31)]

oui, tu avais trouvé la bonne solution, il fallait juste bien rédiger ton raisonnement.
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