Fonction à dérivée

[Romain]

Bonjour à tous J'ai besoin d'aide pour cet exercice merci de m'aider

[sos-math(27)]

Bonjour Romain,
Alors attention, cet exercice ne va pas te faire calculer des nombres dérivés directement, mais il a utiliser le résultat de dérivabilité pour déterminer des limites...

Pour mémoire : le taux d'accroissement d'une fonction \(g\) entre \(x\) et \(0\) est :
\(\frac{g(x)-g(0)}{x}\).
Si la fonction \(g\) est dérivable en \(0\), ce taux d'accroissement, a pour limite \(g'(0)\) quand \(x\) tend vers \(0\)

Ici, il ne s'agit pas de prendre les fonctions \(f\) proposées, mais de considérer ces fonctions comme des taux de variations d'autres fonctions...

Par exemple pour le a), si on considère la fonction : \(g(x)=e^x\)
alors \(f(x)=\frac{e^x-1}{2x}=\frac{1}{2} \times \frac{e^x-1}{x}\) on retrouve \(\frac{1}{2}\) fois le taux de variation de \(g\) entre \(x\) et \(0\).

Que pourra-t-on dire alors de la limite quand \(x\) tend vers 0 ?? à toi de me le dire !

IL faudra recommencer ce style de raisonnement pour chaque question. J'espère que j'ai été claire.
à bientôt

[romain]

d'accord merci mais je dois bien etudier le taux d'accroissement avec la fonction f et non la fonction g ?

[sos-math(27)]

L'énoncé dit :
étudier \(f\) à l'aide du taux de variation d'une autre fonction ... donc ce n'est pas le taux de variation de \(f\) qu'il faut faire, mais celui de \(g\), tu obtiendras pour \(f\) la limite en 0+ (impossible à déterminer sans cela !!).

D'après mes indications, que peux tu dire de la limite \(f\) quand x tend vers 0 ?

[romain]

ah d'accord c'est que je n'avais pas du comprendre l'enonce, le taux d'accroissement de g vaut 1/2 ? je ne comprends pas

[sos-math(27)]

Non,

Par exemple pour le a), si on considère la fonction : \(g(x)=e^x\)
alors \(f(x)=^\frac{e^x−1}{2x}=\frac{1}{2} \times \frac{e^x−1}{x}\)
on retrouve \(\frac{1}{2} \times \frac{g(x)-g(0)}{x}\).

Il faut ensuite passer à la limite quand x tend vers 0 : à gauche on aura \(f(0)\) et à droite ....à toi de me dire !!
à bientôt

[romain]

le taux d'accroissement vaut 0

[sos-math(27)]

Non Romain, pour la fonction \(g\), la limite quand \(x\) tend vers 0 du taux d'accroissement \(\frac{g(x)-g(0)}{x}\) est égal à \(g'(0)\) quand \(g\) est dérivable en 0.

Avec \(g(x)=e^x\), combien vaut \(g'(0)\) ?
à bientôt

[romain]

1 ?

[SoS-Math(9)]

Oui Romain !

SoSMath.

[romain]

la limite est finie donc quand x tend vers 0 f est derivable ?

[SoS-Math(9)]

Romain,

Non, tu as montré que \(\lim_{x \to 0}f(x)=\frac{1}{2}\) en utilisant \(\lim_{x \to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=1\).

Pour montrer que f est dérivable en 0 il faut calculer \(\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) ... mais ce n'est pas demandé !

SoSMath.

[romain]

du coup je fais quoi ensuite ?

[SoS-Math(9)]

Romain,

Que veux-tu faire de plus ? tu as trouvé la limite de f en 0 !

SoSMath.

[romain]

mais pour la b) je dis que g(x) = exp x ?