Congruence

[Camille]

Bonjour ! j'ai un exercice de spé (le numéro 73 sur la photo) et je n'arrive pas à démarer, on me demande de compléter le tableau mais je ne sais pas comment faire, je vois que yˆ3=y*y*y mais je n'arrive pas à faire le lien entre ça et les propriétés du cours, j'ai déja posté un message ici et vous m'avez expliquer mais je n'ai toujours pas compris, je bloque dessus depuis une semaine, pouvez vous juste me donner un exemple pour que je comprenne le principe svp ? Merci d'avance

[SoS-Math(25)]

Bonjour Camille,

On va commencé par un exemple :

Si y = 2 (donc \(y \equiv 2 [7]\))

Alors \(y^3 = 8\) (donc \(y^3 \equiv 1 [7]\))

De même, si y= 9 (donc \(y \equiv 2 [7]\))

Alors \(y^3 = 729\) (donc \(y^3 \equiv 1 [7]\))

Avec cet exemple, tu peux commencer à remplir la troisième colonne de ton tableau.

J'espère t'avoir aidé,

A bientôt !

[Camille]

Bonjour, en fait je ne comprends pas comment vous passez de y congru à 2 modulo 7 à yˆ3 congru à 1 modulo 7 ?

[SoS-Math(25)]

J'ai simplement utilisé un exemple pour te montrer le mécanisme :

Si y = 2 (donc y≡2[7]) Alors \(~y^3=2^3=8 .... et 8≡ 1 [7] ...\) (On peut généraliser ce résultat pour tous les nombres y congrus à 2 modulo 7...

Bon courage !

[Camille]

Je n'ai pas compris comment vous trouvez le 8 ! Que signifie \([TeX]\)~ ??

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Camille,

\(y=2\) donc \(y^3=2\times 2\times 2=8\)

A bientôt

[Camille]

Merci j'ai compris grace à vous j'ai rempli le tableau! par contre pour la question b) je ne vois pas trop le rapport avec le tableau, il faut faire pareil mais avec l'équation ??

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Camille,

Si l'équation \(7x^2+2y^3= 3\) a un couple d'entiers solution, cela signifie que \(7x^2+2y^3\equiv 3[7]\)
Or \(7x^2\equiv ...[7]\) donc cela implique une contrainte sur \(2y^3\) que ton tableau va peut-être mettre en défaut...

Bonne continuation.

[Camille]

Bonjour, peut on dire que 7x² eest congru à 3-2yˆ3 modulo 7 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
oui si l'on veut mais cela signifierait surtout que \(7x^2\equiv 0\,[7]\) (puisque c'est 7 fois quelque chose) donc que \(3-2y^3\equiv 0\,[7]\) donc que \(2y^3\equiv...\,[7]\).
Il te reste à utiliser les résultat de ton tableau.
Bonne conclusion

[Camille]

2yˆ3 congru à 3 modulo 7 ? or il d'apres le tableau 2yˆ3 congru à 5 modulo 7, je ne comprends pas vraiment

[Camille]

Je pensais faire ceci :

3-2yˆ3 congru à ...(7) : 3 1 1 5 1 5 5
Or rien n'est divisible par 7 donc l'équation n'a pas de solution ??

[sos-math(21)]

Effectivement, ton tableau doit te mener à une contradiction.
Cela signifiera donc que ton équation n'a pas de solution.
Bonne conclusion

[Camille]

Et ce que je pensais faire (le dernier message), ce n'est pas une bonne méthode ??

[sos-math(21)]

C'est assez proche puisque tu vas aussi utiliser le tableau.
Ta méthode est correcte.