Limites de suite

[Morgane]

Bonjour ! J'ai un dm de maths sur les suites et il y a un exercice ou je bloque à la 4ème question, voilà le sujet :

Soit la suite (Un) définie sur N par U indici n+1=3-(4/(Un)+1) et U0=2
1) Démontrer que la suite (Un) est bornée, plus précisément démontreer que pour tout n appartient à N Un appartient à [1;2].
2) Vérifier que pour tout n appartient à N U indice n+1 - Un = -(Un-1)²/Un+1
3) En déduire le sens de variation de la suite (Un).
4) Démontrer que la suite (Un) converge et calculer sa limite.
5) Démontrer que la suite (Sn) définie par Sn= Epsilum n k=0 uk= u0 + u1 + ... + Un diverge vers +infini.
6) Compléter l'algorithme suivant pour qu'il retourne la valeur de Sn une fois que l'utilisateur a saisi la valeur de n.

Entrée : n un entier naturel
Variables : u et s sont des variables réelles
n et i sont des variables entières
Initialisation : u prend la valeur 2
s prend la valeur u
i prend la valeur 0
demander la valeur de n
Traitement : Tant que ...
Affecter à i la valeur i +1
Affecter à u la valeur ...
Affecter à s la valeur ...
Fin tant que
Sortie : afficher s

Voilà j'ai fais les question 1 2 et 3 mais à partir de la 4ème je suis un peu perdue, j'ai dit que (Un) est décroissante et Un>= 1 donc on peut dire qu'elle converge vers une limite l = 3-4/l+1 mais je ne sais pas si ma démarche est juste, pouvez vous m'aidez svp ??

[sos-math(20)]

Bonsoir Morgane,

Ta démarche est correcte, il te reste à résoudre l'équation finale pour avoir la valeur de la limite l de la suite.

Bon courage

SOSmath

[Morgane]

Merci de d'avoir validé ! le problème est que je n'arrive pas à résoudre cette équation, c'est peut être tellement bête que je ne le vois pas mais j'obtient du l² et je ne comprends pas

[sos-math(20)]

Il y a bien du l², et sans doute aussi 2 solutions à l'équation ! Il va falloir choisir et exclure une des deux solutions en utilisant une des propriétés de la suite (Un) démontrée précédemment.

SOSmath

[Morgane]

Je dois utiliser delta pour résoudre l'équation ?

[sos-math(20)]

A priori oui si c'est une équation du second degré ! Quelle est ton équation ?

SOSmath

[Morgane]

j'ai l²+l+1=0 sauf que ici delta = -3 donc il n'y a pas de solution ?

[sos-math(20)]

Je ne vois pas bien comment tu as pu trouver cette équation : peux-tu me redonner l'expression de ta suite en étant bien précise sur les parenthèses ? Pour l'instant moi j'ai \(u_{n+1}=3 - \frac{4}{u_n +1}\) : est-ce cela ?

SOSmath

[Morgane]

oui c'est bien ça

[sos-math(20)]

Alors c'est ton calcul qui est faux : repars de \(l=3-\frac{4}{l+1}\), réduis au même dénominateur, simplifie et du devrais obtenir l²-2l+1=0, équation qui elle n'a qu'une seule solution !

Bon courage

SOSmath

[Morgane]

Effectivement j'ai trouvé ça avec pour solution 1 merci, par contre pour la question 5 je ne sais pas par où commencer je suis vraiment perdue je ne sais pas comment faire pouvez vous me guider svp ??

[SoS-Math(9)]

Bonjour Morgane,

Pour la question 5, il faut utiliser le fait que (Un) est décroissante.
On alors pour tout k allant de 0 à n, \(u_n \leq u_k\).
Donc \(u_n \leq u_0\), \(u_n \leq u_1\), ..., \(u_n \leq u_n\).
Effectue alors la somme des inégalités ci-dessus, pour en déduire par comparaison la limite de Sn.

SoSMath.

[Morgane]

Merci mais je ne comprends pas comment on peut additionner des inégalités comme celles là ?

[SoS-Math(9)]

Morgane pour additionner des inégalités, on utilise la règle suivante :
Si a < b et c < d, alors a+c < b+d.

On a \(u_n ≤ u_0\) et \(u_n ≤ u_1\) donc on obtient \(u_n + u_n ≤ u_0 + u_1\)
Additionne alors les autres inégalités ....

SoSMath.

[Morgane]

J'ai essayé mais je ne comprends pas, il faut additionner toutes les inégalités séparément ou ensemble ? Un+Un<=U0+U1 ou Un+Un+Un<=U0+U1+Un