Dm exponentielle

[Lisa]

Bonjour, j'ai un dm sur les exponentielle et le deuxième exercice me pose vraiment des problèmes :

Partie A : Soit la fonction g définie dans [-2;10] par g(x)=eˆx+x+1

1) Etudier le sens de variation de g sur [-2;10]
2) On suppose que l'équation g(x)=0 a une unique solution alpha. A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de alpha à 10ˆ-2 près par défaut.
3) En déduire le signe de g(x) sur [-2;10]

Partie B : Soit la fonction f définie sur [-2;10] par f(x)= (x*exp(x))/(exp(x)+1)

1) Montrer que f'(x)=(exp(x)*g(x))/(exp(x) +1)²
2) En deduire le sens de variation de f sur [-2;10]
3) Montrer que f(alpha)=alpha +1. En déduire un encadrement de f(alpha)

J'ai fais quelques trucs mais j'ai vraiment du mal :

Partie A :
1) j'ai fait la dérivée de g(x) j'obtiens eˆx+eˆ0 est ce que je peux en déduire que g est strictement croissante car exp(x)>0 ?

2) alpha = -1,27 à 10ˆ-2 près

3) Je n'arrive pas à trouver le lien entre mes résultats et la question pour obtenir une réponse, je dois faire un tableau de signe mais comment ?

Partie B :

1) Je n'arrive pas à faire la dérivée car je ne sais pas quoi faire quand j'ai exp(x)*(exp(x)+1)-(x*exp(x))*exp(x) est ce que cela donne 2eˆx+eˆx - 2exp(x)x ?

2) je ne sais pas quelle démarche adopter pour cela ..

3) J'ai fait le calcul à la calculatrice en remplacant x par -1,27 et je trouve bien çela mais doit je faire le calcul à la calculatrice ou bien en développant ??

Merci d'avance pour votre aide

[SoS-Math(29)]

Bonjour

Partie A,
question 1, oui c'est bien cela. Par contre, la dérivée est e^(x) + 1
question 2, ça me semble correct.
question 3, si g(x) = 0 pour x = -1,27 cela signifie que g(x)<0 pour x appartenant [-2;-1,27[ et g(x)>0 pour x appartenant à ...,

Partie B,
question 2, il faut donner le signe de f' sur [-2;10]
question 3, il faut "jouer" avec le fait que g(alpha)=0 : ça veut dire que e^alpha + alpha + 1 = 0 donc e^alpha +1 = -alpha (donc tu peux remplacer le dénominateur de la fonction f par - alpha) ...

[Lisa]

Merci beaucoup pour vos explications par contre pour la dérivée 1) partie B comment dois je dévélopper ?

Et justement pour la question 2 je ne comprends pas comment je peux étudier le signe d'une telle expression je pense que le nominateur est positif car exp(x)>0 et le dénominateur aussi car c'est au ² ?

[SoS-Math(29)]

Partie B
question 2 : f'(x) = (e^x * g(x)) / (e^x +1)²
Pour le signe tu sais que e^x est positif pour tout x, de plus (e^x +1)² est positif pou tout x (car c'est le carré d'un nombre)
ensuite, il te faut le signe de g(x) (et dans la partie A, question 3, tu as donné le signe de g(x)
donc f'(x) est du même signe que g(x).

question 1, la dérivée
pose u(x) = xe^x et v(x) = e^x + 1
tu sais que la dérivée de u/v est (u'v - v'u)/v²
calcule cela puis développe le numérateur, tu obtiendras (au numérateur) : e^2x +e^x +xe^2x +xe^x - xe^2x et ensuite tu peux éliminer certains termes et factoriser pour obtenir e^x *g(x)
N'hésite pas à me joindre tes calculs (photos de ton brouillon par exemple), ce sera plus facile pour t'aider dans ton calcul

[Lisa]

Je ne comprends pas comment vous trouvez ce numérateur à partir du xeˆ2x + xeˆx - xeˆ2x ? je ne comprends pas l'étape de calcul pour arriver à cela voilà ce que j'ai

[Lisa]

Je ne comprends pas comment vous trouvez ce numérateur à partir du xeˆ2x + xeˆx - xeˆ2x ? je ne comprends pas l'étape de calcul pour arriver à cela voilà ce que j'ai

[Lisa]

Pour la question 2 partie B j'ai trouvé que f était décroissante sur [-2;-1,27[ et croissante sur ]-1,27;10] Mais pour les questions 1 et 3 je ne comprends pas du tout

[Lisa]

Comment vous pouvez trouver ça au nominateur ?

[SoS-Math(29)]

Je vois où se trouve ton erreur.
C'est lorsque tu dérives xe^x. Attention, c'est un produit donc pour le dériver, cela donne (e^x + xe^x).

Pour la question 3
g(alpha) = 0 donc e^alpha +alpha + 1 = 0 (question 2, partie A)
par conséquent, e^alpha + 1 = - alpha
ensuite tu calcules f(alpha) = (alpha*e^alpha ) / (e^alpha + 1)
et tu remplaces (e^alpha + 1) par - alpha
du coup tu obtiens f(alpha) = (alpha * e^alpha)/(-alpha)
donc f(alpha) = -e^alpha
et tu reprends le fait que g(alpha) = 0 donc e^alpha +alpha + 1 = 0 donc alpha + 1 = -e^alpha

[SoS-Math(29)]

Au numérateur
cela te donne u'v - v'u
u(x) = xe^x donc la dérivée est e^x + xe^x
car c'est un produit, tu poses w(x) =x et t(x) =e^x donc la dérivée de wt est w't +t'w

[Lisa]

Merci mais pour l'encadrement j'utilise quoi ?

[SoS-Math(29)]

Tu as trouvé que alpha est environ égale à -1,27
-2<alpha<-1
donc -2 +1 <alpha + 1 <-1 +1
donc -2 +1 <f(alpha) <-1 +1 c'est à dire -1 <f(alpha) <0.
Il s'agit d'un encadrement à l'unité. Que te dit ton énoncé? Il te faut un encadrement à l'unité, aux dixièmes ... ?
J'espère que cela t'a aidé un peu...

[Lisa]

Ils ne précisent pas pour l'encadrement merci beaucoup en tout cas

[Camille]

Pour la question 3 de la partie B il faut faire la différence des deux thermes a savoir f(alpha)- alpha-1 et il faut que cette différence soit nulle pour que l'égalité soit démontrée.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Camille,
oui, la différence doit être nulle
En faisant la différence f(alpha) - alpha tu dois retrouver l'expression de g et utiliser g(alpha) = 0 pour prouver que la différence doit être nulle