La congruence

[Charlotte]

Bonjour je suis élève de terminale S en spé maths et j'ai un devoir maison sur les congruences, je pense avoir assez compris le principe cependant je n'arrive pas à faire mon troisième exercice où on me demande de trouver le reste dans les divisions euclidiennes de 14 puissance 200 par 5 et de 11 puissance 101 par 3. Je ne comprends pas la démarche a effectuer pour résoudre ce problème, je sais que a=bq+r mais je ne vois pas comment résoudre ces divisons avec cette formule. Je ne veux pas la réponse juste qu'on me guide pour savoir comment faire, merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Charlotte,

Dons ton exercice il s'agit d'utiliser la propriété suivante sur les congruences : Si \(a\equiv b [p]\), alors \(a^n\equiv b^n [p]\).
Et lorsque b = 1 ou -1, cela donne un résultat simple car \(1^n=1\) et \((-1)^n=\begin{cases} & 1 \text{ si n est pair } \\ & -1 \text{ si n est impair } \end{cases}\).

SoSMath.

[Charlotte]

Merci j'ai donc 14ˆ200 congrue à b modulo 5 mais je ne sais pas quelle démarche adopter suite à cela ?

[SoS-Math(9)]

Charlotte,

tu as : \(14\equiv 4 [5]\) donc \(14^{200}\equiv 4^{200} [5]\) mais cela n'est pas très intéressant ...
Par contre tu peux utiliser : \(14^{200}=(14^2)^{100}\)

SoSMath.

[Charlotte]

Je suis désolée mais je ne comprends vraiment pas cet exercice, je ne vois pas le lien entre vos données et la question posée, d'après elles j'ai donc (14²)ˆ100 congru à (4²)100 modulo 5 mais quel rapport avec le reste que je dois déterminer ?

[SoS-Math(9)]

Charlotte,

voici le début : \(14\equiv 4 [5]\) donc \(14^{2}\equiv 4^{2} [5]\) soit \(14^{2}\equiv 16 [5]\)
Or \(16\equiv 1 [5]\) donc \(14^{2}\equiv 1 [5]\) ...

SoSMath.

[Charlotte]

Mais alors là où est passé le puissance 100 après le ² ?

[SoS-Math(9)]

Charlotte,

c'est à toi de continuer, je t'ai donné le début !

SoSMath.

[Charlotte]

Merci de ces explications mais je n'ai toujours pas compris le principe de raisonnement

[SoS-Math(9)]

Charlotte,

tu as \(14^{2}\equiv 1 [5]\) donc \((14^{2})^{100}\equiv 1^{100} [5]\) soit \(14^{200}\equiv 1 [5]\)
Donc le reste de la division de 14^200 par 5 est 1.

SoSMath.

[Charlotte]

D'accord merci et par exemple pour la deuxième je peux donc dire que 11 congru à 2 modulo 3 donc 11ˆ101 congru à 2ˆ101 modulo 3 ??

[sos-math(20)]

C'est bien cela, Charlotte.

SOSmath

[Charlotte]

Par contre je ne peux pas introduire de ² dans mon raisonnement non ? J'aurais penser à faire (11ˆ1)ˆ100 congru à (2ˆ1)ˆ100 mais je ne vois pas en quoi ça m'avance ?

[sos-math(20)]

Il n'y a aucun intérêt à écrire 11^1 et 2^1 puisque tu sais bien que 11^1 = 11 et qu 2^1=2.

Tu dois travailler avec 2^101 mais avant cela commence pas regarder les congruences modulo 3 des puissances de 2 : 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5 ...... Remarques-tu quelque chose ?

SOSmath

[Charlotte]

Je remarque que la congruence est alternative soit congru 2 soit congru 1 mais ça ne m'avance pas je ne comprends pas ...