Exercices sur les fonctions exponentielles

[Julien]

Bonjour à vous, j'ai un exercice pour la rentrée sur les fonctions, et je ne comprends pas du tout. Voici l'énoncé :


Une entreprise fabrique chaque mois x tonnes d'un certain produit, avec x appartenant à l'intervalle ]0;6].
Le coût moyen de fabrication, exprimé en milliers d'euros pour une production mensuelle de x tonnes est donné par C(x), où C est la fonction définie par :
C(x) = \frac{0,01e^{x}+2}{x}.

1) A l'aide de la calculatrice :
a) conjecturez en terme de variations l'évolution du coût moyen de fabrication sur l'intervalle ]0;6]
b) estimez le minimum du coût moyen de fabrication et la production mensuelle correspondante ;
c) dites s'il est possible d'atteindre un coût moyen de fabrication de 4 000 euros. On précisera la méthode utilisée.

2) On désigne C' la fonction dérivée de la fonction C. Montrez que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6] : C'(x) = \frac{0,01xe^{x} - 0,01e^{x}-2}{x^2}


3. On considère la fonction f définie sur ]0;6] par : f(x) = 0,01xe^x - 0,01e^{x}-2
On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.

a) Vérifiez que pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle ]0;6], f'(x) = 0,01xe^x.
b) Justifiez que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]0;6].
c) Justifiez que l'équation f(x) = 0 admet une seule solution a appartenant à l'intervalle [4;5]. Donnez la valeur arrondie au dixième du nombre réel a.
d) Déduisez des résultats précédents le signe de f(x) sur l'intervalle ]0;6].

4) A l'aide des questions précédentes, justifiez que le minimum du coût moyen de fabrication est obtenu pour une production mensuelle de α tonnes du produit.

J'ai fait les questions 1) et 2), mais je bloque sur toute la 3)
J'ai juste trouvé le début de la a) : Le premier terme est de la forme u x v, donc il est de la forme u'v + v'u avec u(x)=0.01x
u'(x)= 0.01
v(x)=e^x
v'(x)=e^x
Merci de votre aide, bonne fin d'après midi

[sos-math(27)]

Bonjour Julien,
Tu es bien parti dans ton calcul, pour la dérivée du premier terme, il faut continuer avec : u' * v + u * v'.
Tu peux aussi t'aider en utilisant un calcul formel avec le logiciel Geogebra par exemple.
A plus tard...

[Julien]

Merci de m'avoir répondu

Ce qui me fait f'(x) = 0.01*e^x + e^x*0.01x
= 0.01e^x + 0.01xe^x

Mais je ne comprends pas pourquoi je ne tombe pas sur le résultat attendu..

Et je ne trouve toujours pas comment répondre aux questions suivantes, pourrais-je avoir des indications de votre part s'il vous plait ?

Merci, bonne soirée

[sos-math(27)]

C'est que tu oublies la dérivée de -0.01 e^{x}-2 ; cela viendra simplifier ce que tu avais trouvé pour aboutir au bon résultat.
Pour la suite de la question, il faut terminer l'étude des variations de f et utiliser un résultat qui permet de démontrer l'existence de solutions...
A plus tard !

[Julien]

Ah mince, donc c'est f'(x) = 0.01*e^x + e^x*0.01x
= 0.01e^x + 0.01xe^x - 0.01e^x (je n'ai pas mit le 2 car il ne compte pas dans le calcul d'une dérivée, c'est bien ça ?)
= 0.01xe^x

Donc il faut que je fasse un tableau de variations ?

A plus tard !

[sos-math(27)]

Oui, je pense que tu peux continuer tranquillement cette partie !
A plus tard

[Julien]

D'accord, merci !
Par contre pour trouver les signes dans le tableau il faut déjà trouver les solutions de ax²+bx+c=0 avec delta=b²-4ac
Mais pour la première fonction dans le tableau : 0.01xe^x-0.01e^x, je sais que c = 2, mais a est ce qu'il est bien égal à 0.01 et b à -0.01 ? Car je suis perdu avec les propriétés pour xe^x etc...
Et pour trouver le signe de a deuxième fonction : -0.01e^x-2 je ne sais pas non plus quelle est la propriété de e^x...

Merci, bon après midi à vous

[Julien]

Merci !
Pour trouver les signes dans le tableau, je sais qu'en peut les trouver en résolvant les fonctions avec delta = b²-4ac, mais pour les 2 fonctions : 0.01xe^x - 0.01e^x-2 et 0.01e^x-2, je ne sais pas comment appliquer les propriétés de "e^x" et "xe^x" pour trouver a,b et c, je sais juste que dans la 2ème fonction que c=2

Merci pour votre aide, bonne soirée

[sos-math(21)]

Bonsoir,
il y a des choses qui ne me semblent pas claires : où vois-tu une fonction polynôme du second degré ?
Tous les tableaux de signe ne se font pas avec un discriminant ...
Utilise les questions précédentes pour remplir le tableau de signes.
Bonne continuation

[Julien]

Ah mince.. J'ai tout confondu
Mais j'ai que la fonction dérivée de 0,01xe^x - 0,01e^{x}-2, après je sais qu'une fonction exponentielle de base e est toujours positive quand e^x>0

Merci et bonne soirée à vous

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Julien,

Tu viens de montrer que \(f ' (x) = 0,01xe^x\).

Quel est le signe de f ' sur ]0;6] ?

Quel est alors le sens de variation de f sur ]0;6] ?

Quelle est la valeur de f(4) ? de f(5) ?

Avec un tableau de variation et les valeurs précédentes tu dois pouvoir répondre aux questions 3a) b) et c).

Bon courage !

[Julien]

Bonsoir !

f' est positif ?

Donc f est croissant sur ]0;6] ?

Excusez moi, mais justement je n'arrive pas à remplir le tableau de variations, j'ai expliqué mon problème dans les messages d'avant..

Merci beaucoup et bonne soirée !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julien,

Pour remplir ton tableau de variations de la fonction f, il te faut le signe de sa dérivée f '.
Ici l'étude du signe de f ' est simple, car tu as un produit pour f ' : \(0,01x\times e^x\).
De plus le facteur \(e^x\) est toujours positif. Donc f ' est du signe du second facteur 0,01x.
Le signe de ce dernier facteur est simple (voir cours de 2nde sur le signe de ax+b) : pour x<0, 0,01x < 0, pour x=0 0,01x = 0 et pour x>0, 0,01x > 0.
Donc sur ]0, 6], f '(x) >0. Donc sur ]0, 6], f est strictement croissante.

SoSMath.

[Julien]

Merci !

Donc voici comment j'ai fait mon tableau, est-ce bon ?

(c'est un brouillon)

Après pour la question c) Justifiez que l'équation f(x) = 0 admet une seule solution a appartenant à l'intervalle [4;5]. Donnez la valeur arrondie au dixième du nombre réel a.
J'ai trouvé grâce à la calculatrice f(4)= -0.36
et f(5)=3.93
La fonction f est continue, strictement croissante, et 0 et compris entre f(4) et f(5), donc f(x)=0 admet bien une seule solution

Par contre je ne sais pas comment trouver la valeur pour ensuite l'arrondir..

Et merci de votre aide, je vous souhaite une bonne journée.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Julien,

Ton travail est bon.
Pour trouver une valeur approchée de a, il faut utiliser un programme de dichotomie ou utiliser le tableur de ta calculatrice.
Tu as trouver 4 < a < 5. Avec le tableur :
Tu entres ta fonction f.
Tu fais débuter la table à 4 (voir table set, ou autre nom) avec un pas (ou pitch, ou ...) de 0,1. Tu vas trouver un encadrement de a à 0,1 près.

SoSMath.