DM dérivation

[Roger]

Bonjour,
dans mon exercice, on me dit:
Parmi tous les rectangles de périmètre p fixé (p supérieur à 0), quel est celui qui a l'aire maximale?
Je sais que je dois d'abord vérifier si c'est bien un rectangle mais je ne sais pas comment faire.
Ma prof de maths m'a également dit de faire une fonction avec p après avoir essayé p=100.
Mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Merci de bien vouloir m'aider !

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Roger,

Si x est la longueur du rectangle, quelle est la largeur en fonction de x sachant que le périmètre reste constant et égal à p ?

SoSMath.

[Roger]

Périmètre=2(x+y), Est-ce possible?
Je peux dire que la largeur(y)=-2x/2 soit -x?

[SoS-Math(9)]

Roger,

oui tu as p=2(x+y)
et non y n'est pas égal à -x ....

p=2(x+y)
donc p/2=x+y donc y = ....

Ensuite calcule l'aie du rectangle en fonction de x et trouve son maximum.

SoSMath.

[Roger]

donc (p/2)-x=y?
Je sais que Aire=xy, mais je ne sais pas comment je pourrai trouver son maximum..
merci de votre aide

[SoS-Math(9)]

Roger,

Oui pour y !

Aire du rectangle : A(x) = xy = x(p/2-x).

Il faut alors étudier les variations de ta fonction A ... (dérive A(x), puis trouve le signe d la dérivée ...)

SoSMath.

[Roger]

D'accord, mais pour cela je dois remplacer x ou pas? Et aussi, il y a "p", mais je connais pas sa dérivé, à moins qu'on le considère comme "k"..?!

[Roger]

Est-ce bon si je trouve que A'(x)=3x+p/2 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord avec ta dérivée :
si \(A(x)=x\times\left(\frac{p}{2}-x\right)\), alors cette fonction peut s'écrire \(A(x)=\frac{p}{2}x-x^2=-x^2+\frac{p}{2}x\)
Tu peux alors dériver cette fonction polynôme assez facilement.
Recalcule cela puis étudie le signe de la dérivée....
Bon courage

[Roger]

Bonjour,
D'accord, et est-ce que p/2 est considéré comme k/v ou on laisse p/2?

[Roger]

Ces résultats sont-ils bons?

[Roger]

Et aussi, dans un autre exercice, on me demande cela. Mais je ne sais pas comment je dois faire pour répondre aux qu'est b) et c).
Merci de bien vouloir m'aider.

[Roger]

Et aussi, dans un autre exercice, on me demande cela. Mais je ne sais pas comment je dois faire pour répondre aux qu'est b) et c).
Merci de bien vouloir m'aider.

[sos-math(21)]

Pour la première dérivée,
il faut considérer \(\frac{p}{2}\) comme un nombre de sorte que \(A'(x)=-2x+\frac{p}{2}\).
Pour l'autre exercice, il faut étudier la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\)par \(g(x)=x^3-x^2-8x+12\) :
- dériver \(g\),
- étudier le signe de \(g'(x)\) ;
- construire le tableau de variation complet de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) ;
- regarder seulement une partie du tableau de variation à partir de \(x=0\) et conclure que si \(x\geq 0\), alors \(g(x)\geq 0\).
Bons calculs