DM somme de deux fonctions

[Stéphane]

Bonjour!!! Je vous envoie la partie A que j'ai réussi sans problème, mais par contre pour la partie B je ne suis pas sûr.

Partie A:

Avec les fonctions f et g (définies sur R) données ci-dessous, déterminer le sens de variations de f, le sens de variation de g puis le sens de variation de la fonction h= f+g

• f(x)=2x+3 et g(x)=x-4 • f(x)=-3x+2 et g(x)=x-4
• f(x)=-2x+4 et g(x)=x+1 • f(x)=-x+4 et g(x)=-2x+3
• f(x)=-2x+1 et g(x)=2x-4

Partie B:
Deviner le lien éventuel qu'il existe entre les variations de f et g et celles de h=f+g puis le prouver

J'avais pensé à x∈Df ∩ Dg ,mais ça me parait bien maigre ou je ne sais pas comment le prouver ou je me trompe complétement.

Merci de m'aider.

[sos-math(22)]

Bonjour Stéphane,
Il faut que tu partes de la définition d'une fonction croissante sur R.
Une fonction f est dite croissante sur R si elle conserve l'ordre des éléments de R :
Si \(a \leq b\) alors \(f(a) \leq f(b)\).
Bon courage.

[Stephane]

Je crois que tu ma donne la méthode pour la partie A dont j'avais réussi et que j'avais mis pour qu'on m'aide pour la partie B

[sos-math(27)]

Bonjour Stéphane,
L'indication qui vous est donnée, va vous permettre de démontrer la conjecture qui te reste à faire dans la partie B.
Quelles conclusion avez vous tiré de l'étude des exemples donnés dans la partie A ?

[Stephane]

J'en ai tiré que c'est "a" qui détermine le sens de variations de h.
Si a>b alors le sens de variation est croissante.
Si a<b alors le sens de variation est croissante.
C'est ma conclusion pour la partie A.

[Stephane]

Désolé du double post je voulais dire a<b alors décroissante.

[sos-math(27)]

A quoi correspondent ce "a" et ce "b" que vous citez, selon vous ?

Que pouvez vous me dire concernant la nature des fonction données dans l'exemple ?

[Stephane]

"a" correspond à "x" et b correspond au nombre réel.

La nature des fonctions sont affines, c'est tout ce qui passe par ma tête.

[sos-math(27)]

Effectivement, les fonctions du type f(x)=a*x+b sont affines.
Que savez vous alors des variations des fonction affines ? (il ne s'agit pas de comparer "a" et "b" ) ?

[Stéphane]

Excusez moi je me suis emmêlé les pinceaux avec "a" et "b"...
Les variations d'une fonction affine sont soit croissante, décroissante et constante sur tout son domaine de définition.

[sos-math(27)]

OK, ils'agit donc de prédire quelle sera la variation de la somme de deux fonction affines...
De quoi dépend la variation de la fonction affine f(x)=ax+b ?

[Stephane]

Elle dépend de "a" non ? Si a est positif donc croissante, si négatif donc décroissante et si égal a 0 donc constante.

[sos-math(27)]

Tout à fait !
Il reste donc à adapter cette propriété pour énoncer ce qui se passe pour la somme des deux fonctions, (et le prouver) !

[Stephane]

Alors le lien éventuel est que "a" détermine le sens de variations et qui donnera le sens de variation de h qui est la somme de g et f?

[sos-math(27)]

Oui, c'est cela, il faut considérer la somme des coefficients directeurs "a_f" et "a_g".
Je vous laisse rédiger vous même cette question. A bientôt.