DM de maths: exercice 92 page 42

[Clémence]

Bonjour,
L'exercice est sur le second degré, mais c'est un exercice d'approfondissement, donc impossible de savoir par ou commencer.

J'ai juste cherché les coordonnées des points, ce qui donne A(2;1) M(m;1/m) N(n;1/n).
Et là, je ne sais pas quoi faire, je bloque!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Clémence,

Tu sais que A est au milieu de [MN], tu as donc \(x_A = \frac{m+n}{2}\) et \(y_A=\frac{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}{2}\)

Comme tu connais les coordonnées de A tu peux en déduire un système d'équations vérifiées par m et n, qui se résout au final par une équation du second degré.

Bon courage

[Clémence]

MERCI, j'ai compris qu'il fallait faire le système d'équations
{ m+n / 2 = 2
{ 1/m + 1/n / 2 = 1
Mais le problème, c'est qu'on a jamais fait ça, en plus avec des fractions..

[Clémence]

Finalement, j'ai résolu le système!
{m+n=4
{mn=2
Mais à partir de ce système, on le trouve comment le trinome?

Merci de m'avoir aidé!

[SoS-Math(11)]

Dans l'équation 2 tu as : \(m = \frac{2}{n}\)
Tu remplaces dans la première équation cela te donne \(\frac{2}{n}+n = 4\)

Tu multiplies par \(n\) et tu regroupes, cela te donne l'équation du second degré.

Bon courage pour les calculs

[Clémence]

Alors, j'espère que c'est ça!
{n²-4n+2=0
{m=2/n

x²-4x+2=0
a=1, b=-4 et c=2
delta=8
delta "supérieur à" 0, donc l'équation admet 2 solutions
x1=-b-racine de delta /2a = 4-racine de 8 /2
x2=-b+racine de delta /2a = 4+racine de 8 /2
Par contre, je n'arrive pas à les simplifier, mais c'est pas grave. Comment savoir lequel correspond à m et n?

[SoS-Math(11)]

C'est juste,

Simplifie ainsi : comme \(\sqrt 8 = \sqrt{4 \times 2}=2\sqrt{2}\) tu as alors \(n_1 = \frac{4-2\sqrt 2 }{2}\) puis simplifie tout par 2.
Fais de même pour l'autre racine.

\(m\) est le plus petit des deux puisque sur le dessin M est le plus proche de l'axe des ordonnées.

Bonne fin d'exercice

[Clémence]

Donc:
x1=2-racine de 2 ->c'est m
x2=2+racine de 2 ->c'est n
Voilà!
Merci beaucoup de m'avoir aidé, j'aurais pas réussi sans vous!
Bonne soirée! :)

[SoS-Math(11)]

Merci et bonne soirée à toi aussi.