dérivée

[Invité]

Bonjour
j'ai un exercice sur des fonctions à réaliser et il me pose problème
voici l'énoncé :
Dans un repère orthonormal ( O ; i ; j ) ,
P est la parabole d'équation y= x\(^2\) et A le point de coordonnées (2 ; 0). Le but de l'exercice est de trouver M sur P tel que AM est minimale.

1- x est l'abcisse de M sur P :
vérifier que AM\(^2\) = x\(^4\) + x\(^2\) - 4x +4
J'ai réussi cette question.

2- f est la fonction définie sur R par
f(x) = x\(^4\)+x\(^2\)-4x+4
justifiez que f'(x) est du signe de 2x\(^3\)+x-2
J'ai réussi aussi

3- et c'est là que c'est plus difficile ;
On note g la fonction définie sur R par :
g(x)=2x\(^3\)+x-2

a) Etudier les variations de g et dressez son tableau de variations

Là j'ai deja des problèmes. D'autant plus que la question suivante est : démontre que g(x) = 0 n'a qu'une solution.

Lorsque j'effectue les calculs à la main avec "delta" je trouve qu'il y a 2 solutions ... sur le système de résolution des équations, ma calculatrice trouve 3 solutions ! mais graphiquement, avec la courbe, on ne trouve qu'une solution qui serai proche de 0.8. seulement je n'arrive pas à la trouver par les calculs et je suis donc bloquée pour toute la suite de l'exercice ..

Merci de m'aider

Aurélie

[SoS-Math(10)]

Bonjour,

La dérivée de g est 6x²+1 donc g est strictement croissante.

sos math

[Invité]

Bonjour,

Merci, j'ai vu ça juste après avoir posté mon message !

Seulement pour trouver la solution à l'équation g(x)=0 , j'ai quelques problèmes, je ne sais pas comment m'y prendre.... j'ai essayé avec le calcul de "delta" mais sans succès ..


Merci d'avance,

Aurélie

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
on ne vous demande pas la valeur de la solution mais d'expliquer pourquoi l'équation a une seule solution.
Utilisez pour cela le tableau de variations de votre fonction.
Avez-vous étudier les limites d'une fonction?
Bon courage

[Invité]

Bonjour !

[nous n'avons pas encore étudié les limites...]

j'ai trouvé comment démontrer que g(x)=0 n'a qu'une solution "alpha" comprise entre 0 et 1 comme demandé.

J'ai donc comme demandé déduis les variations de f. f est décroissante sur -\(\infty\) ; "alpha" puis croissante sur "alpha" ; +\(\infty\).
On me demande ensuite de démontrer qu'il existe un seul point M (0) de P d'abscisse "alpha" pour lequel AM (0) est minimale. J'ai donc dit que f admettait un minimum seulement en "alpha" et que donc il n'existait qu'un seul point M de P d'abscisse "alpha" pour lequel AM(0) est minimale

Mais la question suivante est "Démontrez que la tangente à P en M(0) est perpendiculaire à la droite (AM (0))"
Seulement je ne sais pas comment démontrer que 2 tangentes sont perpendiculaires ...
De plus j'ai essayé de calculer l'équation de la tangente à f seulement je trouve des choses impossibles ..

Merci de m'aider

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurélie,

Tout d'abord, ta réponse semble juste !

Pour la question suivante "démontrer que deux droites droites sont perpendiculaires", il faut utiliser le produit scalaire ... as-tu vu cette notion ?

SoSMath.

[Invité]

euuuu je ne m'en souviens pas du tout ! je ne pense pas que nous l'ayons fait ...

Merci

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Sans cette notion, cela va être plus difficile ...

Par exemple, tu peux trouver l'équation de la tengante T à P en M(0), puis choisir un point B sur T (par exemple le point d'ordonnée nulle), puis démontrer que le triangle ABM(0) est rectangle en M(0).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Je suis désolée mais je n'y arrive pas ...

Je ne vois vraiment pas comment faire ..... !

Merci

Aurélie

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Aurélie,

Tu as dit que tu avais trouver l'équation de la tangente à P en M(0), donc dans cette équation tu remplaces y par 0 pour en déduire x (en fonction de alpha). Tu obtiens donc un point
B(x;0) qui appartient à ta tangente (car ses coordonnées vérifient l'équation de la tangente).
Tu connais aussi les coordonnées de A et M(0), donc tu peux calculer les longueurs AB, AM(0) et BM(0). Ce qui va te permettre de vérifier que ton triangle ABM(0) est rectangle.

remarque : tu vas devoir utiliser le fait que \(2a^3+a-2=0\) (où a est ton alpha).

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Désolée mais je ne vois pas ...


Ma tangente est compliquée je ne sais pas si c'est la bonne équation :

y=2ax^3 - a^4 + ax -2a -2x + 4

Où a est alpha ..

est ce correct ?


merci

aurélie

[SoS-Math(9)]

Aurélie, l'équation que tu donnes ne peux être celle d'une droite ! en effet tu as des "x^3" ce qui est impossible pour une équation de droite !

Rappel : l'équation de la tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse \(x_0\) est : \(y=f^,(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) où \(f^,\) est la dérivée de f.

Ici \(x_0=a\) (a = alpha) et \(f(x)=x^2\)
Il te reste à calculer \(f^,(x)\) pour en déduire \(f^,(a)\), puis déterminer \(f(a)\), et pour terminer tu auras l'équation de ta tangente à ta courbe au point M(0).

Repose toi et reprend cette exercice demain.
SoSMath.

[Invité]

Bonjour,

merci de votre aide, seulement je ne comprends pas et je n'arrive pas à démarrer ni à trouver la solution...


Pouvez vous encore m'aider svp ?


Merci d'avance


Aurélie

[SoS-Math(1)]

Bonjour Aurélie,
Il faut d'abord trouver l'équation de la tangente au point M de la parabole, d'abscisse \(\alpha\).
Ce point M a pour coordonnées \(\left(\alpha;\alpha^{2}\right)\).
L'équation de la tangente est de la forme \(y=f^{\prime}(\alpha)x+b\).
On exprimera b en fonction de \(\alpha\) en se servant du point M.
Une fois que vous avez l'équation de la tangente, vous chercherez le point B de cette droite d'ordonnée 0.
Vous démontrer que le triangle AMB est rectangle en M en utilisant la récirpoque du théorème de Pythagore.
Bon courage.