urgent exercice suite pour lundi j'y comprends rien :-(

[Invité]

Un représente le nombre d'ancêtres d'une abeille mâle à la génération n.Soit Fn le nombre d'ancêtres femelles et Mn le nombre d'ancêtres mâles à la génération n.
1) a) montrer que Un=F(n+1) et que M(n+1)=Fn

ca j'ai trouvé c'est le mode de reproduction des abeilles qui veut ca

b)En déduire U(n+1)=Un+Fn=Un+U(n-1)

la je trouve
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn
Un=F(n+1) donc Fn=u(n-1)
et donc
U(n+1)=F(n+1)+M(n+1)=Un+Fn=Un+ U(n-1)

2)On considère la suite de Fibonacci telle que :
U0=U1=1 et u(n+1)=Un+U(n-1) pour tout n appartenant à N*

a)montrer que pour tout n ,Un >= n.
En déduire

la je n'arrive pas a trouver Un>=n je ne parviens pas a ce resultat meme avec la recurrence...

b)Etablir par récurrence que , quelque soit le naturel n :
Un²=U(n-1)*U(n+1)+(-1)^n

3) On pose

Vn= U(n+1)/Un

a)Montrer que V(n+1)-Vn= (-1)^n/(Un*U(n+1))
déduire la limite de V(n+1)-Vn lorsque n tend vers +l'infini.


b) On pose Wn=V(2n-1) et Tn=V(2n)
étudier le sens de variation de chacune de ces 2 suites.

c) montrer que les suites Wn et tn sont adjacentes
en deduire que la suite (Vn)converge vers 1

d) montrer que lim(qd x tend vers +00)(Vn2-Vn-1)=0

e) en utilisant la continuité de la fonction f(x)=x2-x-1 montrer que (Vn) converge vers le nombre d'or

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

C'est un raisonnement par récurrence particulier qu'il faut faire:

uo=1>=0
u1=1>=1
u2=2>=2
donc la propriété est vraie pour n=0 et n=1 et n=2.

hérédité : On suppose que cette propriété est vraie pour tout entier inférieur ou égal à n

montrons que la propriété est vraie pour n+1( avec n>=2)
U(n+1)=U(n)+U(n-1)>=n+(n-1) donc U(n+1)>=2n-1 donc U(n+1) >=n+1

Finalement : pour tout entier n, U(n)>=n

Je te laisse continuer pour la suite.

Bon courage
sosmaths

[Invité]

Bonjour,

J'ai moi aussi ce sujet et aurais quelques questions aussi !
Pour la question 2.a), comment passe t-on de u(n+1)>=2n-1 à u(n+1)>=n+1 ?

Pour la quetion 2.b), j'ai vu que c'était vrai pour n=1 et il faudrait ensuite montrer que (u(n+1))\(^2\)=un*u(n+2)+(-1)\(^{n+1}\)
mais à partir de là, je n'arrive pas à le démontrer. A partir de quelle expression faudrait-il partir ?

Merci d'avance pour votre réponse.

Marion

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marion,

Pour al question 2a), pour passer de u(n+1)>=2n-1 à u(n+1)>=n+1,
il faut utiliser le fait que : n >= 2 soit n+n >= n+2 soit n+n-1 >= n+2-1 soit 2n-1 >= n+1.

2b) Ici il faut faire une récurrence ...
pour démontrer le rang n+1, il faut utiliser l'hypothèse de récurrence et la définition de la suite...
\(u_{n+1}^2=u_{n+1}\times u_{n+1}=u_{n+1}(u_{n}+u_{n-1})=...\)
à toi de continuer.

Bon courage,
SoSMath.

[Invité]

Merci beaucoup d'avoir répondu aussi vite.
C'est bon, j'ai réussi (enfin je crois) à montrer ces deux questions.

J'ai fait autrement pour u(n+1)>=n+1 mais j'ai du utiliser le fait que u(n-1)>=1. Ca marche quand même ?
Pour u(n+1)\(^2\), je suis retombée sur mes pattes à force d'acharnement donc c'est ok aussi.
Par contre c'est la suite, pour le sens de variation de wn et tn. J'ai calculé w(n+1)-wn et t(n+1)-tn et après j'ai utilisé ce qu'on a démontré : un>=n mais ça me donne w(n+1)-wn >=\(\frac{-2}{4n^2-1}\) et t(n+1)-tn>=\(\frac{-1}{2n^2+2n}\). Or quand je regarde le signe de ces deux trucs, ça me donne que c'est inférieur à 0 donc ça colle pas avec le signe >= et en en plus, il devrait y en avoir une croissante et une décroissante.

Comment faire ?

[SoS-Math(4)]

Bonjour Marion,

Je ne trouve pas la même chose que toi. Peut être un problème d'indice.

W(n+1)-W(n)= V(2(n+1)-1)-V(2n-1)=V(2n+1)-V(2n-1)= V(2n+1)-V(2n)+V(2n)-V(2n-1) astuce permettant d'utiliser le résultat de 3)a).
= \(\frac{(-1)^{2n}}{U(2n+1)\times U(2n)}=\frac{1}{U(2n+1)\times U(2n)}\)
Or ce nombre est strictement positif, ce qui prouve que W est une suite décroissante.

Utilise maintenant la même méthode pour la suite T et montrer sa décroissance.
Bon courage
sosmaths

[Invité]

Mais on a traduit le v(2n+1)-v(2n) grâce à la question 3.a) mais où est passée la deuxième partie de w(n+1)-wn : v2n-v(2n-1) ? Ca s'annule ?

[Invité]

Parce que quand on calcule ça fait : w(n+1)-wn= \(\frac{(-1)^2^n}{u(2n)u(2n+1)}\)+\(\frac{(-1)^2^n^-^1}{u(2n-1)u(2n)}\) et on obtient w(n+1)-wn= \(\frac{u(2n-1)-u(2n+1)}{u(2n)u(2n+1)u(2n-1)}\).
Faut-il partir du principe que u est croissante donc que u(2n+1)>u(2n-1) et donc que w(n+1)-wn est négatif ?

Pareil pour t(n+1)-tn = \(\frac{u(2n+2)-u(2n)}{u(2n+2)u(2n)u(2n+1)}\) : u(2n+2)>u(2n) donc t est croissante ?

[SoS-Math(4)]

Bien sur, j'avais oublié un terme et tu as rectifié. Tu as réduit au même dénominateur, et ton résultat est juste.

Je crois qu'il a été démontré que Un>=n, donc Un est positif pour tout n.
D'autre part U(n+1)=U(n)+U(n-1) donc U(n+1)> U(n) donc U est strictement croissante. Donc U(2n-1)-U(2n+1)<0 donc W(n+1)-W(n) est négatif donc W est décroissante, et vraisemblablement strictement décroissante.

Même chose pout tn, ce que tu as fait.

Maintenant il faut montrer que limite W(n)-T(n)=0, pour conclure que W et T sont adjacentes.
Bon courage

sosmaths

[Invité]

D'accord, ça c'est bon. Et bien en tout cas, merci beaucoup pour votre aide précieuse.
On est content quand c'est fini !!!

[SoS-Math(4)]

A bientot

sosmaths

[marie]

bonjours , je dois rendre ce même dm pour mercredi, et jai quelque difficultés
pour demontrer que les suites sont adjacentes jai W decroissante et T decroissante donc je cherche la limite li(wn-tn)=0
je prend Hn = Wn - Tn
mais je n'arrive pas a resoudre Hn

et aussi je ne comprend pas comment resoudre lin(Vn2 - Vn - 1)= 0 qd n tend vers + inf....
merci bcp

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Wn-Tn=V(2n-1)-V(2n)
Si vous posez N = 2n-1 alors 2n = N+1
Wn-Tn=V(N)-V(N+1)
quand n tend vers + inf alors N tend aussi vers +inf
utilisez le résultat de 3)a)
Bon courage

[marie]

merci bcp, jai une derniere question
comment peut on montrer en utilisant la continuité de la fonction f(x)=x2 - x - 1 que l2 - l - 1 = 0 et c quoi le nombre d'or?

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu vas montrer que v(n+1)=f(V(n)) alors lorsque n tend vers l'infini, lim(V(n+1)=lim(f(v(n)))

Or comme f est continue, lim(f(V(n))=f(lim(V(n)))

Or lim(V(n+1))=lim(V(n))=l donc on a l=f(l), ce qui permet de calculer l, qui s'appelle le nombre d'or( qui a de multiples propriétés).

sosmaths