suites et ln

[miss les maths]

Bonjour à tous alors voila j'ai un exercice basé sur les suites et le logarithme népérien.

La suite (Un) est géométrique de raison 1/2 et de premier terme Uo=5. On pose Wn= ln(Un).

1/ Exprimer Un et déterminer sa limite.
2/ Ecrire un algorithme qui permet de trouver le rang n à partir duquel Un<10^-5
3/ A partir de quel rang n a-t-on Un<10^-5 (le démontrer rigouresement).
4/ Exprimer Wn en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (Wn)? Déterminer sa limite.
5/ Exprimer en fonction de n, Sn= Wo+W1+....+Wn.

Alors pour la
1/ j'ai mis que Un=5*(1/2)^n
2/ je n'ai pas réussi à le faire
3/du coup je ne peux pas faire la 3/
4/ On sait que Un=5*(1/2)^n
et que Wn=ln(Un)
Soit, Wn= ln(5*(1/2)^n).

Merci d'avance

[sos-math(21)]

Bonjour,
Ok pour l'expression de \(U_n\).
Maintenant, tu sais des choses sur la convergence des suites géométriques selon la valeur de la raison :
- si \(q>1\), alors ....
- si \(0<q<1\), alors ...
L'algorithme doit se baser sur une boucle avec arrêt : TANT QUE ...>10^-5, FAIRE...
Pour \(W_n\), il faut que tu utilises les propriétés du logarithme \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a^n)=n\ln(a).\).
A toi de mettre cela en forme.

[miss les maths]

Bonjour,
Ok pour l'expression de \(U_n\).
Maintenant, tu sais des choses sur la convergence des suites géométriques selon la valeur de la raison :
- si \(q>1\), alors ....
- si \(0<q<1\), alors ...
L'algorithme doit se baser sur une boucle avec arrêt : TANT QUE ...>10^-5, FAIRE...
Pour \(W_n\), il faut que tu utilises les propriétés du logarithme \(\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)\) et \(\ln(a^n)=n\ln(a).\).
A toi de mettre cela en forme.

==>ah oui c'est vrai du coup la limite de Un est 0 vu que -1<q<1.

==> Et pour Wn c'est Wn= ln(Un)=ln(5*(1/2)^n) = ln5+ ln(1/2)^n = ln5+nln(1/2).
C'est bien ça n'est ce pas??

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tu as bien \(W_n=ln(5)+n\times ln(\frac{1}{2})=ln(5)-n\times ln(2)\).

Bonne continuation

[miss les maths]

Ok merci par contre je ne sais pas comment déterminer la nature de cette suite?

[miss les maths]

Ah je pense que c'est bon Wn est une suite arithmétique de raison -ln2 et de premier terme W0=ln5

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tout à fait une suite arithmétique peut être définie par \(u_n=u_0+n \times r\) où \(r\) est la raison.

Bonne continuation

[miss les maths]

Ok merci par contre j'ai déja fait la limite d'une suite géométrique mais pas celle d'une arithmétique?

[SoS-Math(11)]

La limites sont \({+\infty}\) si la raison est positive et \({-\infty}\) si la raison est négative.

La formule est celle d'une fonction affine et son sens de variation et sa limite sont les mêmes.

Bonne fin d'exercice

[miss les maths]

Ah ok du coup ici vu que la raison est négative la limite de Wn est - infini

Ensuite pour la dernière question Sn= [(n+1)(Uo+Un)]/2
= [(n1)(ln5+ln5-nln2)]/2 c'est bien ça?

[SoS-Math(11)]

Oui, tu appliques la formule \(S_n=(n+1)\frac{W_0+W_n}{2}\) ce qui te donne bien \((n+1)\frac{ln5+ln5-nln2}{2}\).

Bonne continuation

[miss les maths]

Merci beaucoup SoS Maths ;) Et a bientot!