fonction exp

[<3boubou<3]

Bonsoir , je bloque sur un exercice et je succite votre aide svp .

PARTIE A:
Soit la fonction g définie sur R par g(x) = e^x + x + 1

1) Etudier les varations de g sur RCalculer les limites de g en +infini et en - infini

2) a) Démontrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution que l'on note alpha
b) Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près
3) En déduire le signe de g(x) sur R


Je vais vous montrer ce que j'ai fais :

1) quand x-> + infini lim g(x)= + infini
quand x-> - infini lim g(x)= - infini

g'(x)= e^x +1
g'(x) est positif sur R et g(x) est strictement croissante sur R

2) J'ai utilisé le théorème de la bijection où je trouve x=-1/2 , parce contre pour la b)"Donner un encadrement de alpha à 10^-2 près" je n'y arrive pas comment faire ?

4) j'ai dis que :

g(x) inférieur ou égale à 0 sur ]-infini ; alpha ]
g(x) supérieur ou égale à 0 sur[alpha ; + infini [

Voila , donc déjà pouvez vous me corriger si j'ai fais des erreurs et m'aider pour le reste des questions???;)

Partie B :

Soit la fonction f définie par f(x)=xe^x/e^x + 1 . On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( O,i,j)

1. Justifier que f est dérivable sur R et vérifier que f'(x)=e^x(gx)/(e^x+1)²
En déduire les variations de F sur R

2. Montrer que f(alpha)= alpha + 1
En déduire un encadrement de f(alpha) à 10^-2 près

3) a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0
b) Etudier les positions de C par rapport à T

4) Déterminer la limite de f en - infini et interpréter graphiquement le résultat

5.a) Calculer la limite de f en + infini
b) Dresser le tableau de variation de f
c) Construire la courbe C et la tangente T

Merci d'avance!!

[sos-math(21)]

Bonjour,
ce que tu as fait est correct mais je ne comprends pas ton x=-1/2.
Pour trouver une valeur approchée de \(\alpha\), solution de \(g(\alpha)=0\), il faut utiliser le mode table de la calculatrice :
règle le d'abord, entre -10 et 10, avec un pas de 1, tu te rends compte que g(-2)>0 et g(-1)>0, donc \(\alpha\in]-2\,;\,-1[\).
Tu reprends ton mode Table et tu règles ta table entre -2 et -1 avec un pas de 0,1.
Tu repères encore les 2 valeurs qui encadrent 0.
Tu recommences avec ces deux valeurs, avec un pas de 0,01.
A ce stade, tu as un encadrement de \(\alpha\) à 0,01, c'est-à-dire \(10^{-2}\).
Pour la partie B, dérive f, et vérifie que \(f'(x)=\frac{e^xg(x)}{(e^x+1)^2}\) en factorisant par \(e^x\).
Le signe de g(x), obtenu en partie A, te permettra de trouver le signe de f'(x) et ensuite le sens de variation de la fonction f.
Bon courage

[<3boubou<3]

Bonsoir Sos-Maths 21 et mercii

Bon je vais essayée de commencer la partie B:

1/e^x>0 donc ne s'annule jamais en 0 donc définie sur R.

f(x)= (xe^x)/(e^x +1)

donc quand je factorise par e^x ça me donne:
f(x)=(e^x(1+x))/(e^x(1+1/e^x))

[sos-math(21)]

Non, c'est la dérivée \(f^,(x)\) qu'il faut factoriser au numérateur : lis la question.
Reprends cela.

[<3boubou<3]

En fait moi au départ j'avais utiliser '(u/v)'

et j'étais arrivée là:
f'(x)=(e^x+(e^x+1)-xe^x*e^x)/(e^x+1)²
=((e^x)²+e^x-x(e^x)²)/(e^x+1)²

Je ne sais pas si j'étais dans la bonne voie?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
en posant \(u(x)=xe^x\), tu as \(u'(x)=e^x+xe^x\) ;
et \(v(x)=e^x+1\), tu as \(v'(x)=e^x\).
Donc tu as \(f^,(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{(e^x+xe^x)(e^x+1)-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}\).
Je te laisse développer ce numérateur, tu dois facilement retrouver ce qu'il faut.

[<3boubou<3]

Bonsoir,
en posant \(u(x)=xe^x\), tu as \(u'(x)=e^x+xe^x\) ;
et \(v(x)=e^x+1\), tu as \(v'(x)=e^x\).
Donc tu as \(f^,(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{(e^x+xe^x)(e^x+1)-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}\).
Je te laisse développer ce numérateur, tu dois facilement retrouver ce qu'il faut.

\(f'(x)=\fra{(e^x)^2+e^x+x(e^x)^2+xe^x-xe^x*e^x}{(e^x+1)^2\)
\(=\frac{(e^x)^2+e^x+x(e^x)^2*e^x}{(e^x+1)^2\)

???

[sos-math(21)]

Bonjour,
il y a des erreurs de calcul ;
donc si on repart de cette dérivée, on a :
\(f^,(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{(e^x+xe^x)(e^x+1)-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{e^x\times e^x+e^x+xe^x\times e^x+xe^x-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}\).
Il y a des termes qui se simplifient : \(xe^x\times e^x-xe^x\times e^x=0\) et il reste :
\(f^'(x)=\frac{e^{x}\times e^x+xe^x+e^x}{(e^x+1)^2}\), je te laisse factoriser le numérateur par \(e^x\) et tu retrouveras ce qu'on te demande.
Bonne continuation

[<3boubou<3]

Bonjour,
il y a des erreurs de calcul ;
donc si on repart de cette dérivée, on a :
\(f^,(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{(e^x+xe^x)(e^x+1)-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{e^x\times e^x+e^x+xe^x\times e^x+xe^x-xe^x\times e^x}{(e^x+1)^2}\).
Il y a des termes qui se simplifient : \(xe^x\times e^x-xe^x\times e^x=0\) et il reste :
\(f^'(x)=\frac{e^{x}\times e^x+xe^x+e^x}{(e^x+1)^2}\), je te laisse factoriser le numérateur par \(e^x\) et tu retrouveras ce qu'on te demande.
Bonne continuation

Bonjour SoS Maths(21)

tout d'abord merci de m'aider
ensuite c'est bon j'ai réussir à aboutir à mon calcul je trouve bien à la fin \(f'(x)=\frac{e^x(g(x))}{(e^x+1)^2}\)

Ensuite pour les variations:

x..................................alpha.................................
f'(x).............(-)...............(0)...............(+)................
f(x)...........decrois.......Min...........crois..................

Désolé pour les pointillés j'espère que vous comprendrez;)

2. -On pose alpha=a
f(a)=a*exp(a)/(exp(a)+1)
or a est solution de exp(x)+x+1 ==> exp(a)+a+1=0 ==> exp(a)=-(a+1) ==> f(a)=a+1

- f(alpha)=a+1 ==> -0,278< f(a)<-0,279

3.a.La tangente T a pour équation y=f'(0)*x+f(0)=x/2
b. f(x)-x/2=exp(x)/(1+exp(x)) -x/2=x*(exp(x)-1)/(2*(exp(x)+1) >0 qq soit x et le graphe de C est au dessus de celui de sa tangente pour toute valeur de x.

Voila où j'en suis pour l'instant j'aimerai bien savoir si c'est correct pour l'instant
merci;)

[sos-math(21)]

Bonjour,
C'est bon pour la dérivée et le sens de variation.
Pour \(f(\alpha)=\alpha+1\), j'aimerais que tu me détailles.
Même chose pour la tangente : \(e^x-1>0\) toujours ? et \(x\) ? son signe est constant ? Il faut détailler cela, c'est un peu plus complexe...
Reprends cela

[<3boubou<3]

Bonjour,
C'est bon pour la dérivée et le sens de variation.
Pour \(f(\alpha)=\alpha+1\), j'aimerais que tu me détailles.
Même chose pour la tangente : \(e^x-1>0\) toujours ? et \(x\) ? son signe est constant ? Il faut détailler cela, c'est un peu plus complexe...
Reprends cela

ba pour f(alpha) moi j'ai fais comme ça j'ai remplacé le x de la fonction f(x) par alpha mais comme on sait que alpha est le solution de g(x)=e^x+x+1
ça revient à dire que:
e^a+a+1=0
<=>e^a=-(a+1)
Ce qui fait que f(alpha)= alpha+1

C'est ça non??

ensuite pour l'étude de la position j'ai fait
f(x)-équation de tangente
=\(\frac{e^x}{1+e^x}-\frac{x}{2}\)
=\(\frac{x*(e^x-1)}{2*(e^x+1)}\)

==> Ce qui est positif > à 0 ensuite d'après je dois en conclure que pour tout x, C se situe au dessus de sa tangente non?

[sos-math(21)]

je te rappelle que \(f(x)=\frac{xe^x}{e^x+1}\) donc \(f(\alpha)=\frac{\alpha e^{\alpha}}{e^{\alpha}+1}=....\)
Il y a un peu de travail.
Je te rappelle ensuite que dans \(f(x)-x/2=\frac{x(e^x-1)}{2(e^x+1)}\), \(x\) n'est pas toujours positif et \(e^x-1\) non plus.
Reprends cela plus précisément.

[<3boubou<3]

Bonjour,
C'est bon pour la dérivée et le sens de variation.
Pour \(f(\alpha)=\alpha+1\), j'aimerais que tu me détailles.
Même chose pour la tangente : \(e^x-1>0\) toujours ? et \(x\) ? son signe est constant ? Il faut détailler cela, c'est un peu plus complexe...
Reprends cela

ba en fait quand je regarde bien f(x) semble constante autour de 0 pour x<0 mais pour tout x>0 f(x) est croissante
\(f(a)=\frac{a*e^a}{e^a+1}\)
\(=\frac{e^a*x}{e^a(1+1/e^a)}\)
\(=\frac{x}{1+1/e^a}\)

En fait je ne comprends pas très bien où vous voulez en venir est ce que ce que j'ai fait est faux ?? Je comprends plus??

[<3boubou<3]

ba quand je calcule les limites de f au question 4 et 5.a:

pour qd x-->-inf lim f(x)=0
Donc assymptote en -inf d'équation y=0

pour x-->+inf, lim f(x)=+inf (je détaille pas mes calculs mais comme je tombais sur une forme indéterminée j'ai factorisée par e^x en haut et en bas et je trouve que la limite de f(x) qd x-->+inf=+infini

Par contre pour la question suivante qui concerne les variations de f je ne vois pas son utilité vu que je l'ai déjà un peu plus haut à la 1. ???

Enfin, pour la courbe j'ai su la faire ;)

[sos-math(21)]

Il faut que tu simplifies \(f(\alpha)\) en utilisant le fait que \(g(\alpha)=e^{\alpha}+\alpha+1=0\) donc \(e^{\alpha}+1=-\alpha\) et \(e^{\alpha}=-\alpha-1\).
Je te laisse reprendre cela.
Pour la tangente, tu as deux facteurs dont le signe varie, fais un tableau de signe....
Pour les limites, tu as une forme indéterminée en \({-\infty}\) et aussi en \(+\infty\) mais celle-ci, tu l'as traitée apparemment.
Revois cela.