Vecteurs

[Mathilde]

Bonsoir,
On a un triangle ABC avec A', B' et C' milieux de [BC], [AC] et [AB]. On est dans le repère (A; vecteur AB, vecteur AC)
J'ai donc trouvé A(0;0) B(1;0) C(0;1) A'(1/2;1/2) B'(0;1/2) C'(1/2;0)
J'ai ensuite calculer une équation cartésienne de :
(AA'): -1/2x+1/2y=0
(BB'): -1/2x-y-1/2=0
(CC'): x+1/2y-1/2=0

Puis trouvé G(-1/3;-1/3)
Or, je n'arrive pas à trouver mon erreur car je sais que le point G doit être sur (CC').

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Mathilde,

Tu as fait une erreur pour l'équation de la droite (BB') ... tu dois trouvé -1/2x-y+1/2=0.

SoSMath

[Mathilde]

Bonsoir,
Je pense que j'ai trouvé mon erreur:
J'ai oublié une parenthèse avec changement de signe.

Il s'agit du théorème du centre de gravité ?
J'ai ensuite écrit vecteur AG en fonction des vecteurs AB et AC. Puis déduis que vecteur GA+vecteur GB+ vecteur GC= Vecteur nul.

Cependant, je ne comprends pas la question suivante: On a un point M tel que vecteur MA+vecteur MB+vecteurMC=vecteur nul.
Montrer que le point M est en G.
Je ne comprends pas car pour moi on a tout simplement remplacé le G précédemment par un M donc logiquement M est en G.

Merci.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Si tu soustrais les deux égalités vectorielles : tu as :
$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$
$\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}=\vec{0}$
$\vec{MA}-\vec{GA}+\vec{MB}-\vec{GB}+\vec{MC}-\vec{GC}=\vec{0}$
donc $\vec{MA}+\vec{AG}+\vec{MB}+\vec{BG}+\vec{MC}+\vec{CG}=\vec{0}$
donc avec Chasles, on a $3\vec{MG}=\vec{0}$ donc $M=G$
Je ne sais pas si tu as le droit d'utiliser $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$....
Bonne continuation

[Mathilde]

Merci beaucoup,
Mais pour la caractérisation vectorielle du centre de gravité d'un triangle, c'est la formule vecteurGA+vecteurGB+vecteurGC=vecteur nul ?

Merci.

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela.
G est le centre de gravité s'il vérifie $\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$.
De plus si on prend C' milieu de [AB], alors $\vec{C'A}+\vec{C'B}=\vec{0}$ donc en intercalant dans la première égalité, on a
$\vec{GC'}\vec{C'A}+\vec{GC'}+\vec{C'B}+\vec{GC}=\vec{0}$ soit en simplifiant : $\vec{CG}=2\vec{GC'}$ donc $\vec{CG}=\frac{2}{3}\vec{CC'}$.
Ce qui signifie que G est au deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
Bonne continuation.

[Mathilde]

Cela me rappelle une démonstration faite l'an dernier sur l'isobarycentre !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Effectivement : le centre de gravité d'un triangle $ABC$ est le barycentre du système $\left\lbrace (A\,,\,1)\,;\,(B\,;\,1)\,,\,(C\,;\,1)\right\rbrace$.
C'est donc l'isobarycentre de A, B, et C (les coefficients sont égaux).
Bonne continuation

[Mathilde]

Bonjour,
Merci beaucoup.

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOS-math, Mathilde