DM - Variation de fonction

[Noah]

Bonjour, je suis élève de 1ère S et je rencontre une difficulté pour répondre à une question d'un devoir maison portant sur les variations de fonction.
Voici la question : Montrer que pour tout x≥0, /√x- 1/≤ √(/x-1/) (les "/" correspondent aux barres de la valeur absolue)

Je suppose que la démonstration doit se dérouler en deux parties, une ou l'on prouve l'inégalité pour tout x supérieur ou égal à 1 (ce que j'ai réalisé avec succès) et l'autre où l'on prouve l'inégalité pour tout x compris entre 1 et 0.

Mon problème réside dans l'exécution de cette seconde partie. C'est pour ça que je requiert votre aide, j'aurais bien besoin d'un petit coup de pouce s'il vous plaît.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Le découpage de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) en deux intervalles permet de faire disparaitre les valeurs absolues ;
Sur l'intervalle \([0\,;\,1]\), on a \(x\leq 1\) donc comme la fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;\,1]\), on obtient le même ordre sur les images :
\(\sqrt{x}\leq \sqrt{1}\) , soit \(\sqrt{x}\leq 1\) ou encore \(\sqrt{x}-1\leq 0\).
Donc ce nombre est négatif donc sa valeur absolue est égale à l'opposé de ce nombre : \(|\sqrt{x}-1|=1-\sqrt{x}\)
De même sur cet intervalle, on a \(x\leq 1\) donc \(x-1\leq 0\) et on conclut de même que \(|x-1|=...\) et \(\sqrt{|x-1|}=....\)
Maintenant que l'inégalité à prouver a été dépouillée de ses valeurs absolues, à toi de la prouver.
Bon courage

[Noah]

Alors, je ne vous suit plus à partir de "De même sur cet intervalle, on a x\leq 1 donc x-1\leq 0 et on conclut de même que |x-1|=... et \sqrt{|x-1|}=...."
J'ai essayé d'avancer et j'arrive donc à : pour tout x<1 on a /√x-1/ = 1-√x
et √(/x-1/) = √(1-x) Est-ce juste ?

Si oui, pourriez vous m'indiquer la marche à suivre pour la suite ? Ou tout du moins m'aiguiller car je suis un peu perdu

[sos-math(21)]

Il faut faire la même chose pour l'autre partie de l'inégalité : il faut enlever les valeurs absolues pour pouvoir manipuler les expressions :
donc on reprend la même démarche : sur cet intervalle, on a \(x\leq 1\) donc \(x-1\leq 0\) et on conclut de même que \(|x-1|=...\) la valeur absolue de ce nombre est donc égale à son opposé et ensuite \(\sqrt{|x-1|}=....\).
Tu as bien obtenu ce que j'espérais te faire trouver, à savoir :

√(/x-1/) = √(1-x)

Donc maintenant, l’inégalité de départ à prouver est équivalente à celle-ci : \(1-\sqrt{x}\leq \sqrt{1-x}\)
Peut-être peux-tu comparer les carrés des deux expressions afin de faire disparaître certaines racines carrées gênantes.
Comme cela, si tu arrives à comparer les carrés des nombres, tu pourras en déduire l'ordre sur leur racines carrées et tu auras répondu à la question.
Bon courage pour cet exercice qui est assez technique.

[Noah]

Comme vous me l'avez conseillé précédemment j'ai tenté de comparer les carrés des deux expressions soit :
1-2√x+x pour (1-√x)²
et 1-x pour [√(1-x)]²

Je dis bien "tenté" car mes recherches n'ont pas été très fructueuses...
Je suis désolé d'insister avec toutes mes questions mais un DS se profil très prochainement sur ce chapitre et j'aimerais le plus possible être au point.

[sos-math(21)]

C'est un premier point :
on va utiliser une technique classique pour comparer deux nombres : on va calculer la différence des deux nombres et étudier le signe de cette différence.
Calcule \((1-2\sqrt{x}+x)-(1-x)=...\) puis essaie de factoriser.
Bon courage

[Noah]

Si j'ai bien compris si le signe de la différence des deux nombres est négatif ça m'indique que le deuxième nombre est supérieur au premier et donc j'ai enfin résolu l'exercice.
Encore faudrait il que j'arrive à faire la différence des deux nombres...

[Noah]

Finalement je pense avoir réussi, j'arrive à : -2√x+2x mais comment prouver que c'est négatif ?

[sos-math(21)]

Oui, c'est cela.
Donc si tu fais la différence dont je t'ai parlé, en faisant disparaitre les parenthèses (on change les signes à l'intérieur de celles-ci s'il y a un signe "-" devant), on a :
\((1-2\sqrt{x}+x)-(1-x)=1-2\sqrt{x}+x-1+x=2x-2\sqrt{x}\) ; sachant que \(x=\sqrt{x}\times\sqrt{x}\), je te laisse factoriser par \(2\sqrt{x}\) et tu pourras étudier le signe de chaque facteur.
Bon courage

[sos-math(21)]

Je t'ai envoyé un message dans l'intervalle.
Lis le, cela devrait te dépanner.
Bon courage

[Noah]

Merci pour vos derniers messages mais finalement j'avais réussi à trouver de moi même. Comme quoi, il ne faut pas hésiter à s'obstiner quelquefois !
En tout cas je vous remercie énormément pour votre non négligeable. Quelle joie d'avoir réussi ! A une prochaine fois peut être, bonne soirée.

[sos-math(21)]

C'est très bien que tu aies fait les choses seul(e).
C'est comme cela que l'on construit des vraies compétences mathématiques.
Bon courage