Polynôme du second degré et courbe

[Anonyme]

Bonjour,

J'ai un problème dans un QCM (dont la consigne est d'identifier les affirmations exactes en justifiant).
J'ai à disposition le dessin de la courbe représentative P d'une fonction f. Il s'agit d'une parabole.
Il est demandé dans l'énoncé si f(x) est de la forme a(x2 - 2x - 3) avec a>0.

Je n'arrive pas à savoir dans quelle direction il faut que je parte pour justifier :
Dois-je utiliser un raisonnement inductif ? Dans ce cas-là je procéderai ainsi --> je prendrais quelques points de Cf, remplacerais x par leurs abscisses dans l'expression proposée, et verrais si les résultats donnent les bonnes ordonnées.

Faut-il, au contraire, que j'utilise un raisonnement déductif qui me permettrait d'arriver, à la fin, à l'expression littérale (x2 - 2x - 3) ? Dans ce cas, je ne sais pas du tout comment je procéderais...

Je m'excuse de cette question un peu "tordue".

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Ta question n'est pas du tout "tordue". En revanche, il y a certainement plusieurs manières de procéder. Tout dépend de ton graphique. Peux-tu le scanner ? Peux-tu lire les coordonnées de points appartenant à la parabole ? Enfin, s'il s'agit d'un QCM, j'imagine qu'il a le choix entre plusieurs réponse, et tu ne parles que d'une réponse...
Bonne continuation.

[Anonyme]

Je n'ai pas la possibilité de le scanner malheureusement.

C'est une parabole tracée dans un repère orthonormé, elle est tournée vers le haut, il semble que son sommet soit le point S(0,5 ; -1,25), et qu'elle passe par les points M(-4 ; 4), N(-1 ; 0), O(3 ; 0) et P(5 ; 4) (ce sont les points dont je suis quasiment sûre graphiquement).

Les autres choix de réponses sont :
b) La valeur minimale de f(x) est -4a :
je pense avoir trouvé la solution dans le cas où la proposition a) est juste --> je déterminerais algébriquement l'abscisse du sommet en calculant x=-b/2a pour l'expression entre parenthèse (le coefficient a est inutile dans ce 1er calcul), puis je remplacerais x par le résultat trouvé. Ça me donne effectivement -4a.

c) Si le point A(0 ; -1) est un point de P, alors f(x) = [(x+1)(x-3)]/3 :
là je n'en ai aucune idée.

[sos-math(22)]

Je ne comprends pas : s'agit-il d'un QCM ou bien d'un VRAI/FAUX ?

[Anonyme]

Il s'agit d'un QCM.

"QCM : pour chaque affirmation, plusieurs réponses peuvent être exactes, identifiez-les en justifiant.

P est la courbe représentative d'une fonction f. [courbe]
a) ...
b) ...
c) ..."

[sos-math(22)]

D'accord, c'est donc un VRAI/FAUX "déguisé", puisqu'il s'agit finalement de dire si chaque proposition est vraie ou fausse...

Pour le a), tu peux remarquer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions : x=-1 et x=3.
La fonction polynôme du second degré f admet donc deux racines. Elle se factorise donc sous la forme : \(f(x)=a(x-(-1))(x-3)=a(x+1)(x-3)\), avec \(a>0\) car la parabole est tournée vers le haut. La réponse est donc VRAIE.

Pour le b), l'abscisse du sommet, -b/2a serait égale à 1 et son ordonnée à -4a. Je suis d'accord, mais dans ce cas, les coordonnées du sommet ne seraient pas S(0,5 ; -1,25), comme tu le dis précédemment.

Pour le c), c'est très facile, je te laisse y réfléchir un peu plus.

Bonne continuation.

[Anonyme]

Merci infiniment ! Ça m'aide beaucoup, je suis rassurée.

[sos-math(22)]

Je ne ferme pas le sujet tout de suite, afin de te permettre éventuellement de poser d'autres questions.
Bonne continuation.

[Anonyme]

Je ne vois vraiment pas pour le c)...
J'ai essayé de résoudre l'équation [(x+1)(x-3)]/3 = -1 pour voir si x = 0 dans ce cas-là, mais ça ne donne rien.
Soit j'ai mal résolu l'équation, soit il ne faut pas partir de là.
Mon problème réside toujours là : je ne sais pas par quel bout commencer !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Sos-math(22) t'a déjà bien aidé en disant cela :

Pour le a), tu peux remarquer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions : x=-1 et x=3.
La fonction polynôme du second degré f admet donc deux racines. Elle se factorise donc sous la forme : \(f(x)=a(x-(-1))(x-3)=a(x+1)(x-3)\), avec \(a>0\)

Donc tu sais que ta fonction est de la forme \(f(x)=a(x+1)(x-3)\): si elle passe par le point de coordonnées (0 ; -1), alors en remplaçant x par 0 dans cette expression on a \(f(x)=-1\),
tu obtiendras une équation d'inconnue \(a\), et tu la résoudras puis tu compareras avec ce que l'on te propose : \(x=\frac{1}{3}\)
Bon courage