[Arithmétique] nombres premiers entre eux.

[Patrick]

Bonjour,

Pour une correction, je vous soumets de nouveau un exercice sur le thème de la divisibilité :-)

On dit que deux entiers sont premiers entre eux,
si le seul diviseur positif commun à ces entiers est 1.
1. Soit \(n\) un entier, montrer que \(n\) et \(n+1\), sont premiers entre eux.
2. En est-il de même de \(n\) et \(n+2\) ?
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1. Soit \(d\) un diviseur commun de \(n\) et de \(n+1\) :
\(\text{Si }(d|n\text{ et }d|n+1)\quad\Rightarrow\quad d|n+1-n\quad\Rightarrow\quad d|1.\)
donc \(n\) et \(n+1\) sont premiers entre eux. CQFD ?

2. Dans le cas de \(n\) et \(n+2\) :
Si \(n\) est pair \(n+2\) aussi, donc \(2|n\) et \(2|n+2\).
Donc \(n\) et \(n+2\) ne sont pas premiers entre eux. CQFD ?

J'attends vos réponses,
Merci et @+

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

1) c'est bien.

2) Ok, la réponse est donc : non


ça appelle une autre question :
si n est un entier impair, n et n+2 sont ils premiers entre eux ?


sosmaths

[Patrick]

Merci pour la réponse :-)

ça appelle une autre question :
si n est un entier impair, n et n+2 sont ils premiers entre eux ?

Si \(n\) est un entier impair : \(n=2k+1\) et son suivant \(m=2k+3.\)
Si \((d|2k+1\text{ et }d|2k+1)\quad\Rightarrow\quad d|(2k+3)-(2k+1)\quad\Rightarrow\quad d|2\)
Par hypothèse \(n\) et \(m\) sont entiers consécutifs impairs,
donc \(d=2\) ne convient pas, il reste \(d=1.\) CQFD ?

Peut-on le démontrer facilement d'une autre façon ?
Merci et @+

[SoS-Math(4)]

c'est une démonstration simple , elle est très bien.

Le théorème de Bézout doit permettre de démontrer ce résultat, mais il n'a pas du être fait en cours;

sosmaths