Bijection d'une fonction

[Patrick]

Bonjour,

Voici un exercice sur le thème de la bijection associée à une fonction.
Même si les calculs sont basiques, la rédaction m'a posée des difficultés.

Soit \(f\) l'application définie sur \(\mathbb{R}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\) :
\(f \quad:\quad x \mapsto y=x|x|\)
1) Démontrer que \(f\) est bijective de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}.\) Déterminer l'application réciproque \(f^{-1}\).
2) Tracer les courbes \(C_f\) et \(C_{f^{-1}}\) de \(f\) et \(f^{-1}\).
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1) Une application est bijective sur un intervalle ssi à chaque image \(y\) par \(f\) correspond un et un seul antécédent \(x\), ce qui revient à démontrer que l'équation :
(1)\(\quad y=x|x|\) admet une seule solution sur \(\mathbb{R}.\)
Sur \(\mathbb{R}_+\) on a : \(\left{ y=x^2\\ x\ge 0\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left{ x=\sqrt{y}\\ y\ge 0\right.\)
Sur \(\mathbb{R}_-\) on a : \(\left{ y=-x^2\\ x\lt 0\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left{ x=-\sqrt{-y}\\ y\lt 0\right.\)
L'équation (1) admet donc une seule solution sur \(\mathbb{R}\) car la fonction racine est bijective sur son intervalle de définition. CQFD ?
L'expression de l'application réciproque \(f^{-1}\) s'obtient en échangeant les rôles de \(x\) et de \(y\ :\)
Sur \(\mathbb{R}_+\) on a : \(\left{ y=\sqrt{x}\\ y\ge 0\right.\) et sur \(\mathbb{R}_-\) on a : \(\left{ y=-\sqrt{-x}\\ y\lt 0\right.\quad\) CQFD ?
2) J'ai tracé, à l'aide de GeoGebra, les courbes \(C_f\) (en noir) et \(C_{f^{-1}}.\) (en gris). En plus, j'ai représenté la 1ère bissectrice pour mettre en évidence la symétrie des courbes.

J'attends vos remarques, Merci d'avance.
@+

[SoS-Math(11)]

Bonjour Patrick,

J'ai parcouru ta solution, elle me semble correcte, il faut bien distinguer les deux cas comme tu as fait.
La représentation graphique est correcte aussi, on peut faire confiance à ggb.

Bonne continuation

[Patrick]

A l'aide de la fonction \(sgn(x)\) (signe de \(x\)), je peux utiliser une seule expression :
\(y=sgn(x)\sqrt{sgn(x)|x|}\quad\) c'est correct ?

Encore Merci et @+

[SoS-Math(11)]

Il me semble qu'il y ait une erreur : sous le radical il ne peut y avoir la fonction "signe" devant un positif (\(|x|\)) ; sous la racine je pense que c'est \(x^2\) et pas \(sgn(x)|x|\).

Ou alors il n'y a plus de racine en partant du principe que \(\sqrt{x^2} = |x|\).

Devant il y a bien le signe à écrire.

Bonne continuation et à bientôt sur le forum

[Patrick]

Ok, merci c'est çà : \(y=sgn(x)\sqrt{|x|}\)

@+

[SoS-Math(11)]

D'accord avec cette formule qui donne bien la fonction réciproque.

Bonne fin de soirée