Bijection d'une fonction

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Patrick

Bijection d'une fonction

Message par Patrick » mer. 9 oct. 2013 16:00

Bonjour,

Voici un exercice sur le thème de la bijection associée à une fonction.
Même si les calculs sont basiques, la rédaction m'a posée des difficultés.

Soit f l'application définie sur R et à valeurs dans R :
f:xy=x|x|
1) Démontrer que f est bijective de R sur R. Déterminer l'application réciproque f1.
2) Tracer les courbes Cf et Cf1 de f et f1.
___________________________________________

1) Une application est bijective sur un intervalle ssi à chaque image y par f correspond un et un seul antécédent x, ce qui revient à démontrer que l'équation :
(1)y=x|x| admet une seule solution sur R.
Sur R+ on a : \left{ y=x^2\\ x\ge 0\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left{ x=\sqrt{y}\\ y\ge 0\right.
Sur R on a : \left{ y=-x^2\\ x\lt 0\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left{ x=-\sqrt{-y}\\ y\lt 0\right.
L'équation (1) admet donc une seule solution sur R car la fonction racine est bijective sur son intervalle de définition. CQFD ?
L'expression de l'application réciproque f1 s'obtient en échangeant les rôles de x et de y :
Sur R+ on a : \left{ y=\sqrt{x}\\ y\ge 0\right. et sur R on a : \left{ y=-\sqrt{-x}\\ y\lt 0\right.\quad CQFD ?
2) J'ai tracé, à l'aide de GeoGebra, les courbes Cf (en noir) et Cf1. (en gris). En plus, j'ai représenté la 1ère bissectrice pour mettre en évidence la symétrie des courbes.

J'attends vos remarques, Merci d'avance.
@+
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Illustration réalisée avec GeoGebra
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SoS-Math(11)
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Re: Bijection d'une fonction

Message par SoS-Math(11) » mer. 9 oct. 2013 17:01

Bonjour Patrick,

J'ai parcouru ta solution, elle me semble correcte, il faut bien distinguer les deux cas comme tu as fait.
La représentation graphique est correcte aussi, on peut faire confiance à ggb.

Bonne continuation
Patrick

Re: Bijection d'une fonction

Message par Patrick » mer. 9 oct. 2013 17:41

A l'aide de la fonction sgn(x) (signe de x), je peux utiliser une seule expression :
y=sgn(x)sgn(x)|x| c'est correct ?

Encore Merci et @+
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Re: Bijection d'une fonction

Message par SoS-Math(11) » mer. 9 oct. 2013 18:05

Il me semble qu'il y ait une erreur : sous le radical il ne peut y avoir la fonction "signe" devant un positif (|x|) ; sous la racine je pense que c'est x2 et pas sgn(x)|x|.

Ou alors il n'y a plus de racine en partant du principe que x2=|x|.

Devant il y a bien le signe à écrire.

Bonne continuation et à bientôt sur le forum
Patrick

Re: Bijection d'une fonction

Message par Patrick » mer. 9 oct. 2013 20:08

Ok, merci c'est çà : y=sgn(x)|x|

@+
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Re: Bijection d'une fonction

Message par SoS-Math(11) » mer. 9 oct. 2013 20:24

D'accord avec cette formule qui donne bien la fonction réciproque.

Bonne fin de soirée
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