[Second degré] étude d'un cas litteral

[Patrick]

Bonjour,

Sorti d'un ancien livre de 1ère, je me replonge dans cet exercice difficile...
Merci pour la lecture et les retours.

Soit les deux trinômes suivants :
$f(x)\equiv ax^2+bx+c\quad\text{et}\quad g(x)\equiv f(x)+m(2ax+b)$
$x$ la variable; $a,\ b,\ c$ sont des nombres réels donnés et $m$ un paramètre.
- 1°) Montrer que, $\forall m \in\mathbb{R}$, si l'équation $f(x)=0$ admet 2 racines $\alpha\in\mathbb{R}\text{et}\beta \in\mathbb{R}$,
l'équation $g(x)=0$ admet aussi 2 racines $\alpha'\in\mathbb{R}\text{ et }\beta'\in\mathbb{R}$.
- 2°) On suppose que l'équation $f(x)=0$ admet 2 racines $\alpha\in\mathbb{R}\text{et}\beta \in\mathbb{R}$.
Calculer le produit $P=g(\alpha)g(\beta)$ en fonction de $a,\ b,\ c,\ m$.
Déduire du signe de $P$ la disposition relative des 4 racines $\alpha,\ \beta,\ \alpha',\ \beta'.$
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- 1°) $f(x)=0$ l'équation complète du trinôme du second degré possède des racines ssi : $b^2-4ac\ge 0.$
De même, pour que le trinôme $g(x)=0$ admette des racines, son discriminant doit vérifier : $\Delta_g\ge 0$
$g(x)\equiv f(x)+m(2ax+b)\equiv ax^2+bx+c+m(2ax+b)\equiv ax^2+x(2am+b)+bm+c.$
$\Delta_g=(2am+b)^2-4a(bm+c)=b^2+4a(am^2-c)=b^2-4ac+4a^2m^2.$
Par hypothèse on a : $b^2-4ac\ge 0\Rightarrow\forall m\in\mathbb{R}\ :\ \Delta_g\ge 0$ puisque $4a^2m^2\ge 0\quad$CQFD ?

- 2°) Rappel du théorème des valeurs intermédiaires : "La relation $f(\alpha)\times f(\beta)<0$ exprime une condition suffisante et nécessaire pour que $f(x)=0$ admette dans $\mathbb{R}$ une racine et une seule entre deux nombres donnés $\alpha$ et $\beta.$"
Calcul du produit : $P=g(\alpha)g(\beta)$ avec $g(\alpha)=f(\alpha)+m(2a\alpha+b)$ et $g(\beta)=f(\beta)+m(2a\beta+b).$
Mais comme $f(\alpha)=f(\beta)=0\Rightarrow P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(2a\alpha+b)(2a\beta+b)=m^2(4a^2\alpha\beta+2ab(\alpha+\beta)+b^2).$
En tenant compte des relations entre coefficients et racines, on peut exprimer/simplifier $P=g(\alpha)g(\beta)$ à l'aide des coefficients $a,\ b,\ c$ de $f(x)$ et du paramètre $m.$
$P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times-\dfrac{a}{b}+b^2)=-m^2(b^2-4ac).$
Sachant que $\alpha$ et $\beta$ existent on a $b^2-4ac>0,$ et que$\ -m^2<0,$ donc $P=g(\alpha)\times g(\beta)<0.$
Maintenant, on peux disposer les racines $\alpha$' et $\beta'$ de $g(x)$ par rapport aux nombres $\alpha$ et $\beta$ racines de $f(x)$.
Pour fixer les idée et conclure, si on pose $\alpha'<\beta'$ dans cet ordre, on est conduit, ainsi, à cette disposition : $\alpha<\alpha'<\beta<\beta'.$

Je pense que çà tiens la route, mais j'ai eu du mal à rédiger,
@+

[sos-math(22)]

Bonjour,
Pour le 1), je pense que c'est tout juste.
Pour le 2), fais attention au départ à tes hypothèses dans l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Il faut supposer que f est continue et strictement monotone sur l'intervalle $[\alpha ; \beta]$ pour être assuré de l'unicité. Cette deuxième condition n'est pas vérifiée si $\alpha$ et $\beta$ désignent les racines du trinôme f... A préciser donc...
Ensuite, j'ai du mal à comprendre la simplification de $P$, je trouve : $P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(4ac-2a^2+b^2)$. Comment fais-tu ensuite pour simplifier ton calcul ?
Enfin, si tu appliques le TVI à $g$, la condition $P=g(\alpha)g(\beta)<0$ implique l'existence d'une solution dans $\alpha$ et $\beta$, pas l'unicité.
En espérant avoir pu t'aider un peu,
Bonne continuation.

[Patrick]

D'abord Merci pour la lecture et ta réponse.

Pour le 2), fais attention au départ à tes hypothèses dans l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Il faut supposer que f est continue et strictement monotone sur l'intervalle $[\alpha ; \beta]$ pour être assuré de l'unicité. Cette deuxième condition n'est pas vérifiée si $\alpha$ et $\beta$ désignent les racines du trinôme f... A préciser donc...

C'est vrai, j'ai abusé de la dénomination, mais c'est le TVI appliqué à un cas particulier, le trinôme, et nous sommes bien dans le cas où celui-ci possède 2 racines. Dans toutes les situations, $f(\alpha)\times f(\beta)>0$ exprime le fait que l'on a aucune ou 2 racines entre $\alpha$ et $\beta$, mais jamais une. Inversement, $f(\alpha)\times f(\beta)<0$ exprime le fait que l'on ne peut avoir qu'une racine entre $\alpha$ et $\beta$. Ouf, c'est un cas suffisamment simple que je viens de vérifier directement (sans démonstration) sur un tracé à main levée.

Ensuite, j'ai du mal à comprendre la simplification de $P$, je trouve : $P=g(\alpha)g(\beta)=m^2(4ac-2a^2+b^2)$. Comment fais-tu ensuite pour simplifier ton calcul ?

C'est une bourde à la composition Latex, il fallait lire pour la somme b/a et pas a/b :
$P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times\dfrac{b}{a}+b^2)=-m^2(b^2-4ac).$

Enfin, si tu appliques le TVI à $g$, la condition $P=g(\alpha)g(\beta)<0$ implique l'existence d'une solution dans $\alpha$ et $\beta$, pas l'unicité.

Bis repetita comme dessus.

Alors, tu en penses quoi de mes explications ?
Merci et @+

[sos-math(22)]

Bonjour,

Tu dis : <<Dans toutes les situations, $f(\alpha)\times f(\beta)>0$ exprime le fait que l'on a aucune ou 2 racines entre $\alpha$ et $\beta$, mais jamais une.>>

Là, je ne crois pas : il suffit que le sommet soit sur l'axe des abscisses pour voir que ça ne marche pas.

En revanche, lorsque tu dis :
<<Inversement, $f(\alpha)\times f(\beta)<0$ exprime le fait que l'on ne peut avoir qu'une racine entre $\alpha$ et $\beta$.>>

Là, d'accord, c'est correct.


Entendu pour la petite faute calcul (avec un signe moins) : $P=g(\alpha)\times g(\beta)=m^2(4a^2\times\dfrac{c}{a}+2ab\times(\dfrac{-b}{a})+b^2)=-m^2(b^2-4ac).$

Bonne continuation.

[Patrick]

Ok, merci pour ton aide à la correction.

@+

[SoS-Math(9)]

A bientôt Patrick,

SoSMath.