Dm : courbe et tangente

[eleve86]

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire, et je bloque sur une question :

F est la fonction définie sur R par :
f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 7

et C sa courbe représentative dans un repère du plan . T est la tangente à la courbe C au point d'abscisse 1 .

1- En utilisant les copies d'écran ci-dessous , conjecturer la position relative de C et T . ( voir photo )
2- On se propose de démontrer ce résultat .

a) Calculer f ' (x) pour tout nombre réel x .

b)En déduire le coefficient directeur de la tangente T .

c) Déterminer une équation de T .

d) Vérifier que , pour tout nombre réel x :
f(x) - (3x - 3 ) = (x-1)^2 (x-4)

e) Étudier le signe de ( x-1)^2 ( x-4) .

f) En déduire la position de C par rapport à T .

Voici mes réponses :

Pour la 1 , j'ai répondu que : La courbe C se trouve en dessous de la tangente T, le point de contact étant le point de coordonnées (1;0)
Ensuite pour la 2 a) , j'ai trouvé :
f'(x) = 3x^2-12x+12

pour la b) : f'(1) = 3 , donc le coefficient directeur = 3
pour la c) : T: y=3x-3
Pour la d) , j'ai développé la seconde partie de l'égalité, et j'ai trouvé : x^3-6x²+9x-4 , ensuite j'ai développé f(x)-(3x-3), et j'ai trouvé la même chose, ce qui confirme l'égalité.
et c'est pour la e) que je n'y arrive pas, car je sais que :
(x-1)² est toujours positif , mais je ne sais pas comment faire pour (x-4) ?

Merci beaucoup de votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Tout ce que tu as fait est correct : très bien !
Pour étudier le signe d'une expression, il y a un moyen appris en seconde : le tableau de signe !
Tu fais une ligne pour \((x-1)^2\), où on ne met que des +, car c'est toujours positif (tu l'as très bien dit)
Puis tu fais une ligne pour \(x-4\) : c'est une expression lié à une fonction affine croissante (coefficient directeur égal à 1 donc positif), donc c'est représenté par une droite qui monte, l'expression est donc négative puis positive : à quel endroit vaut-elle 0 ? Il suffit de résoudre \(x-4=0\).
Une fois remplie cette deuxième ligne, tu fais le bilan sur la troisième ligne avec la règle des signes.
Tu obtiendras :
les intervalles sur laquelle \(f(x)-(3x-3)\geq 0\) : la courbe est au-dessus de sa tangente sur ces intervalles.
les intervalles sur laquelle \(f(x)-(3x-3)\leq 0\) : la courbe est en-dessous de sa tangente sur ces intervalles.
Je te laisse terminer
Bon courage

[eleve86]

D'accord, merci beaucoup !
Au revoir.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Bon courage pour la suite,
A bientôt sur sos-math

[eleve86]

Bonjour, voici ce que j'ai fait pour la e) et la f) :

[eleve86]

Bonjour, voici ce que j'ai fait pour la e) et la f) :

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cela me paraît tout à fait correct : tu peux aussi contrôler ton résultat en traçant les deux fonctions sur ta calculatrice.
Bon courage pour la suite.

[eleve86]

D'accord, et donc je ne fais pas : x-1 = 0 donc x= 1 ? Car je me demandais s'il fallait avoir deux valeurs ou pas...
Merci !

[sos-math(21)]

Bonjour,
effectivement, c'est une négligence de ma part, il faut mettre le 1 qui donne zéro pour \((x-1)^2\) quand \(x=1\), cela ne change rien à la démarche ni à la conclusion.
Le tableau de signe doit plutôt ressembler à cela :

Bon courage pour la suite

[eleve86]

Bonsoir, d'accord et merci beaucoup pour toute votre aide.
Au revoir.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Bon courage pour la suite.
A bientôt sur sos-math