Produits scalaires

[eleve19]

Bonjour, je suis bloqué sur un petit exercice
ABC est un triangle isocèle en A tel que AB = 5 et BC = 6 Soit I le milieu de [AB]
Je dois calculer le produit scalaires de BC par BA, de BC par BI, de AB par AC ainsi que le cosinus de l'angle BAC.

S'il vous plaît aidez moi, j'ai une feuille de cours ou on a cinq expressions du produit scalaire mais je ne vois pas laquelle appliquer.

[sos-math(13)]

Bonjour,

l'une des définitions/propriétés doit être :
u.v=1/2*(||u+v||²-||u||²-||v||²)

Elle est bien adaptée pour ton premier problème.
À partir de là, tu peux connaître le cosinus de l'angle en B, donc la mesure de cet angle, etc.

Bon courage.

[eleve19]

Par exemple si je veux calculer le produit scalaire de BC par BI, je peux faire
BC*BI=1/2*((BC+BI)^2-(BC)^2-(BI)^2) mais je trouve 30

[sos-math(13)]

Pour BC*BI, ce n'est pas une formule judicieuse, car BC+BI n'est pas un vecteur de norme évidente.
En revanche, pour BC*BA, c'est intéressant, car BC+AB est connu, et que BC*BA s'exprime simplement en fonction de BC*AB (en produits scalaires).

[eleve19]

Mais alors comment faire pour BC*BI?
Et ensuite pour AB * AC?

Nous avons à peine commence produit scalaire et nous n'avons fait aucun exercice, donc je suis un peu perdu.

[sos-math(13)]

Comme je te l'ai dis plus haut, une fois que tu connais le premier produit scalaire, en jouant avec une autre définition, tu trouves le cosinus de l'angle en B.
Et quand tu as ce cosinus, avec cette même dernière formule, tu recomposes le produit scalaire.

Tu peux aussi, sinon, te servir du fait que BI=1/2*BA et si tu as déjà fais BC*BA, c'est gagné.

Pour le reste, c'est du même ordre, il faut que tu utilises tes formules pour te familiariser avec.

Bon courage.

[eleve19]

Est ce que BC *BA est bien égal à -30 cela le paraît bizarre

[sos-math(13)]

Non, BC*BA vaut 18.
Comment fais-tu ton calcul ?

[eleve19]

U=BC et v=BA. AB = 5 donc BA=-5
Je remplace dans la formule du cours, ce qui donne :
BC.BA=1/2*(||BC+BA||^2-||BC||^2-||BA||^2)
=1/2*(||6-5||^2-||6||^2-||5||^2)=30

Voilà ce que je fais

Pour éviter d'écrire encore de nombreux messages, je vous pose une nouvelle question, si BA.BC est égal à 18 pour trouver le cosinus de l'angle BAC il faut que j'utilise u.v=||u||*||v||*cos x
Ce qui fait BC.BA=BC*BA*cos BAC
Cos BAC=18/(BC*BA) et ensuite je trouve sa valeur

[sos-math(13)]

Bon, la notation à l'ordi ne va rien simplifier, mais à la première ligne, je ne peux pas être d'accord :

U=BC et v=BA. AB = 5 donc BA=-5

Si BA est la norme du vecteur BA, alors BA est positive, donc vaut 5.
Si BA est le vecteur BA, alors il ne vaut pas 5, ni -5, puisque ce n'est pas un nombre.

Ensuite, la somme de deux vecteurs n'a pas pour norme la somme des normes des vecteurs, donc ||BC+BA|| ne vaut pas ||BC|| + ||BA||.

En revanche, \(\vec{BC}+\vec{AB}\) se simplifie par la relation de Chasles, et du coup on en connait la norme.

à toi de jouer.

[eleve19]

Je vais réessayer encore une fois mais je crois que j'ai trop de lacune en calcul pour le faire

[sos-math(13)]

Il faut reprendre à tête reposée, mais les lacunes en calcul ne t'ennuieront pas trop ici, puisqu'il n'y a que très peu de calculs.
En effet, il est plutôt nécessaire de bien savoir additionner des vecteurs, et la relation de Chasles est ici essentielle.

Bon courage en tout cas, et revient après t'être bien torturé les méninges.

à bientôt sur sos-math.

[eleve19]

Je ne vois pas la relation de Chasles dont vous parlez, je vois pas nonnes à quoi est égale la norme de la somme de deux vecteurs si ce n'est pas a la sommes des normes des vecteurs. L'écriture de l'ordinateur rend tout ça extrêmement compliqué quand on a jamais utiliser ces formules je ne sais pas s'il s'agit de vecteurs ou de valeurs...

[sos-math(13)]

Un vecteur est défini par une direction, un sens sur cette direction, et une longueur.
En assimilant un vecteur à sa longueur, tu perds les deux autres informations.

Ce dessin :
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/c ... _somme.png

peut t'aider à comprendre que le vecteur somme n'a pas pour longueur la somme des vecteurs.
Pour additionner deux vecteurs, on les met à la queue-leu-leu, et le vecteur somme est le vecteur qui va du début de la chaîne à la fin de la chaîne.

La relation de Chasles, elle, spécifie que \(\vec{AZ}+\vec{ZB}=\vec{AB}\), et ce quelle que soit la position du point Z. C'est donc pratique pour simplifier les expressions vectorielles, puisque cela peut "faire disparaître" un point dans le calcul vectoriel.

Par exemple, dans le problème qui t'intéresse, prenons \(\vec{AB}+\vec{BC}\). La relation de Chasles nous permet d'écrire que c'est la même chose que \(\vec{AC}\), et donc la longueur de \(\vec{AB}+\vec{BC}\) est la même que la longueur de \(\vec{AC}\), que tu connais.

Sinon, pour écrire correctement les vecteurs dans sos-math, tu peux écrire \vec{AB} et ensuite tu sélectionnes, et tu cliques sur le bouton TeX en haut de la zone de texte.
Essaie un aperçu avant d'envoyer le message, pour bien voir le rendu, et corriger éventuellement.

[eleve19]

J'ai trouve une méthode avec des projetés. Je ne sais pas comment le justifier mais ça marche pour les deux préfets par. Outre dans mon exemple pour le produit scalaire de AB par AC je ne peux pas utiliser cette méthode. Avez vous une méthode SIMPLE?