congruence

[lisa]

Bonjour, il y a une question d' un exercice que je n'arrive pas à faire. Pouvez vous m aider?
Merci d avance :)
le voici:
7(n-p) congru 0 modulo 256
en deduire que n=p

7(n-p)congru0 mod 256
donc 7(n-p) multiple de 256
et 7(n-p)divise 256 donc
7(n-p) k =256
7 et 256 sont premiers entre eux
donc d après le théorème de gauss
256 divise (n-p)k
et quand on continue avc l egalité ça me donne
n=256+p

[SoS-Math(9)]

Bonjour Lisa,

Tu as fait une petite erreur ... tu as écrit :
7(n-p)congru0 mod 256
donc 7(n-p) multiple de 256 (c'est juste)
et "7(n-p) divise 256" ... c'est faux !! (c'est 256 qui divise 7(n-p) ....)

SoSMath.

[lisa]

ah oui merci :)
donc 256 divise n-p
donc ça fait n-p=256k et

n=256k+p
p=256k+n
en retranchant
(n-p)=k(256-256)+p-n
(n-p)=p-n
2n=2p
n=p
c'est ça?
merci d avance

[SoS-Math(9)]

Lisa,

Commen as-tu trouvé p=256k+n ?

SoSMath.

[lisa]

n-p=256k
-p=256k-n
p=-256k+n
mais si on change ça ne va plus et je ne trouve toujours pas n=p
n'y a t il pas une autre méthode?

[sos-math(21)]

Bonjour,
avec Gauss, tu as effectivement que 256 divise n-p.
Que te dit-on sur n et p ?

[lisa]

n est le reste de la division de 7n par 256
p est le reste de la division de 7p par 256
n et p sont compris entre 0 et 255
mais que faut il faire ensuite ?

[lisa]

n est le reste de la division de 7n par 256
p est le reste de la division de 7p par 256
n et p sont compris entre 0 et 255
mais que faut il faire ensuite ?

[sos-math(21)]

J'aimerais bien que tu me dises clairement ce qui fait partie de ton énoncé et ce qui fait partie de tes réponses car je ne te suis pas :

n et p sont compris entre 0 et 255

: si c'est le cas avec ce qu'on a écrit avant (à savoir 256 divise n-p) , on a n-p<256 et donc n-p=0 soit n=p.
Je ne suis pas sûr de mes réponses car je n'y vois pas clair. Le mieux ce serait d'avoir l'énoncé authentique dans son intégralité, cela permet de comprendre la logique d'un problème.
Merci.

[lisa]

voici l'énoncé
soit C la fonction qui a tout n entier appartenant à [0,255] associe le reste de la division de 7n par 256
soit C(n) ce reste

1) (a) montrer que si C(n)=C(p) alors 7(n-p)congru 0 modulo 256 ( c'est fait :) )
(b) En deduire n=p

Mais pourquoi si n-p <256 alors automatiquement n-p=0 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
J'y vois plus clair
si C(n)=C(p) alors il existe k, k' entiers et un nombre entier r dans [0;255] tels que :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}7n&=&256k+r\\7p&=&256k^{\prime}+r\end{array}\right.\) donc en soustrayant membre à membre on a 7(n-p)=256(k-k') donc 256 divise 7(n-p).
Ensuite d'après gauss, \(256=2^8\) est premier avec 7 donc 256|(n-p). Or comme n et p sont inférieurs à 255, n-p est aussi inférieur à 255. or le seul nombre inférieur à 255 que peut diviser 256 est 0 (les multiples de 256 sont 256, 512 donc que des nombres supérieurs à 255). donc n=p
Et là, cela me va.