Probleme d'equation

[Zack]

Le triangle ABC est rectangle en B;
Le demi cercle O a pour rayon OB=1;
la droite (BC) est tangente en B au demi cercle;
La droite (AC) est tangeante en H au demi cercle

On pose: AB=h et BC=x

1) Prouver que h= (2x^2)/(x^2-1)

Je galere sur cette question!!

J'ai d'abord calculé OC^2:

OC^2=OB^2+BC^2=1+x^2

ensuite, j'en ai deduis que HC=BC=x car les triangles rectangles BOC et HOC on la même hyppotenuse.

J'ai calculé AH^2:
AH^2=OA^2-OH^2
Or on sais que OA=h-1

D'où AH=V(h^2-2h)

Ou V est la racine carree (on fait avec les moyens du bords ^^")

On sais que
AC=AH+HC
AC=V(h^2-2h)+x
AC^2=[V(h*(h-2))+x]^2

Or AC^2=AB^2+BC^2=h^2+x^2

D'où l'equation [V(h*(h-2))+x]^2=h^2+x^2

Et c'est là qu'est le problème, je ne vois pas comment enlever les racines pour arriver au resultat escompté !!

Si quelqu'un peu m'aider pleaaaaase !!! :(

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

J'ai essayé de la même façon, mais je bloque aussi.

Je te propose une autre approche :
Dans le triangle ABC tu as \(tan \widehat{ACB} = \frac{h}{x}\)
Or l'angle BCA est partagé en deux par (CO) qui est la bissectrice de cet angle donc \(\widehat{ACB}=2\widehat{BCO}\).
Tu sais que \(tan(2a)=\frac{sin(2a)}{cos(2a)}=\frac{2sin(a)cos(a)}{1-2sin^2(a)}=\frac{2tan(a)}{1-2tan^2(a)}\) en divisant tout par \(cos^2(a)\).
De plus, dans le triangle BOC : \(tan(\widehat{BCO})=\frac{1}{x}\).

Avec ces indications tu dois pouvoir conclure.

Bon courage

[SoS-Math(11)]

Re-bonjour,

Je suis allé un peu vite sur la formule \(tan(2a)=\frac{sin(2a)}{cos(2a)}=\frac{2sin(a)cos(a)}{1-2sin^2(a)}=\frac{2tan(a)}{1-2tan^2(a)}\),qui est absolument fausse (Les fêtes c'est dur !).
Il faut la remplacer par \(tan(2a)=\frac{sin(2a)}{cos(2a)}=\frac{2sin(a)cos(a)}{cos^2(a)-sin^2(a)}=\frac{2tan(a)}{1-tan^2(a)}\), qui est obtenue en divisant tout par \(cos^2(a)\) et qui est tout à fait correcte celle-la.

Tout le reste est correct et avec la bonne formule tu dois arriver au bon résultat.

Bonne fin d'année