Fonction fonction dérivée et courbe

[Jean]

Bonjour, quelques questions me surviennent lors d'un exercices de maths, sachez tout d'abord que je n'ai pas vraiment eu de problème et donc pas de question sur les 2 premières questions mais qu'elles sont nécessaire pour la compréhension du reste c'est pour ceci qu'elles sont présente, voici l'énoncé et mes réponse:
F est une fonction définie et dérivable sur telle que:
F(0)=0 et pour tout réel x appartenant à R, F'(x)=1/1+x²
On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x). C est la courbe représentant F dans un repère orthonormal.
1. G est la fonction définie sur R par: G(x)=F(x)+F(-x)
a) Justifier que G est dérivable sur R et calculer G'(x). Que peut on en déduire de G?
x ->-x est dérivable sur R
F est dérivable sur R
donc par composition x->F(-x) est dérivable sur R.
Ainsi G est dérivable sur R comme somme de fonction dérivable sur R.
Pour tout x appartenant à R, G'(x)=0
(je m'épargne la rédaction des calculs sur le pc de plus je n'est pas eu réellement de problèmes sur cette question).
Donc G est une fonction constante sur .

b)Calculer G(0), en déduire que F est une fonction impaire.

G(0)= F(0)+F(0)=0
Comme G est une fonction constante sur R, pour tout x appartenant à R, G(x)=G(0)=0.
Donc pour tout x F(x)+F(-x)=0F(-x)=-F(x) pout tout x et -x.
Cette question la ne m'a pas posé de problème.
2)H est une fonction définie sur I=]0;+infinie[ par: H(x)=F(x)+F(1/x).
a)Justifier que H est dérivable sur I et calculer H'(x); que peut-on dire de H? En déduire que pour tout x de I, H'x)=2F(1)
x->1/x est dérivable sur I.
F est dérivable sur R .
Donc par composition puis somme H est dérivable sur I.
Pour tout x appartenant à I, H'(x)=0
(la encore je m'épargne la rédaction des calcul).
Donc H est une fonction constante sur I.
Ainsi H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1)
Comme H est une fonction constante sur I,
pour tout x, H(x)=H(1)=2F(1)

b)Calculer lim quand x tend vers +infinie de F(1/x), en déduire que lim quand x tend vers +l'infinie de F(x)=2F(1). Quelle est la conséquence graphique de ce résultat?
Je ne rédigerai pas cette question ici puisque je l'ai relativement bien réussi je retrouve bien le résultat demandé et ceci implique que C admet une assymptote horzontale d'équation x=2F(1) en +.

3) K est la fonction définie sur ]-pi/2;pi/2[ par K(x)= F(tanx)-x
a) Calculer K'(x) ( on ne demande pas d'établir la dérivabilité de K sur ]-pi/2;pi/2[)
En déduire que pour tout x de ]-pi/2;pi/2[, K(x)=0.
pour tout x appartenant à ]-pi/2;pi/2[, K'(x)=0
(la encore je n'écrit pas la rédaction des calculs)
Donc K est une fonction constante.
K(0)=F(tan0)-0=F(0)-0=0 (tan0=0)
Comme K est une fonction constante sur ]-pi/2;pi/2[,donc pour tout x appartenant à ]-pi/2;pi/2[, K(x)=K(0)=0.
b)Calculer F(1)
Cette question m'a poser quelques problème puisque je ne pense pas que ma méthode soit valable:
pi/4 appartient à ]-pi/2;pi/2[, de plus on sait que tan pi/4=sin pi/4/cos pi/4=1 (puisque le cosinus et le sinus sont tous les 2 égaux à racine de 2 sur 2).
Donc K(/4)=F(1)-pi/4 équivaut à 0=F(1)-pi/4 équivaut à F(1)=pi/4
Ceci vous semble t'il juste? La rédaction est elle correcte?
4)Dresser le tableau de variation de F sur
Pour tout x 1+x²>01/1+x²>0
x - infinie -1 0 1 +infinie
F'(x) +
F -pi/2 -pi/4 Flèche qui monte pi/4 pi/2

Les nombre tout à gauche et à droite de la flèche qui monte sont les limites. Les autres nombre sont les images de -1,1 et je vais mettre celle de 0 également.
La limite en -infinie est elle juste? Je l'ai déduis par le fais que la fonction soit impaire.

5) Donner l'allure de C dans un repère orthogonal.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses -/4, 0 et /4.
Pourriez vous m'indiquez comment insérer ma courbe?

Je n'est pas compris la deuxième partie de la question celle des tangente. J'ai calculé le coefficient directeur de chaque tangente et je trouve:
F'(-/4)=1/1-/4
F'0)=1/1+0=1
F'(/4)=1/1/1+/4
Faut il représenter ces tangentes sur la courbe et en déduire que la courbe C augmente d'abord rapidement puis moins rapidement? OU faut il en déduire autre chose?
Merci d'avance pardonnez la longueur de mon texte.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Jean,

Tout est correct, la rédaction aussi.
Le seul problème semble être celui des tangentes, mais je n'ai pas l'énoncé je n'arrive qu'à lire -/4 ou /4 est-ce pi/4 ?

La fonction croit tout d'abord très lentement puis plus vite, jusqu'à 0, F'(0)=1 puis croit de moins en moins vite {F'(-1)=F'(1)=0,5}.

Tu peux aussi faire une figure avec geogebra, la fonction F est la fonction réciproque de la fonction tangente : arctan puisque F(tan(x))=x !

Bonne continuation

[Jean]

Merci de votre réponse,
désolée je re tape l'énoncé du 5):
5) Donner l'allure de C dans un repère orthogonal.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses -pi/4 , 0 et pi/4.
Pour donner la courbe avec geogebra il faut insérer la formule non ? Or dans l'exercice il est bien dit "on ne cherchera pas à donner une expression de F(x)", il ne faudrait donc tracé la courbe "à la main" dans un repère avec les informations données dans l'exercices: tangents, asymptotes, images. Ma limites en -infinie est bien juste? Je peux la justifier en disant que F est une fonction impaire?
J'inclue ma courbe tracé avec paint bien que l'allure soit très moche juste pour voir si l'allure général correspond bien.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

C'est bien, on ne te demande pas de chercher la formule mais l'étude de K(x) te donne la formule et aussi la méthode pour obtenir des valeurs de F(x).

Bonne fin d'exercice

[Jean]

D'accord merci beaucoup pour votre réponse :). J'utilise donc la fonction K pour obtenir quelque valeurs de F(x) et ainsi obtenir une courbe plus précise?
Vous m'aviez dit que vous voyez un problème avec la question des tangentes lequel? Celui-ci est il résolue depuis que j'ai recopier correctement l'énoncé?
Bonne soirée.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Tout à fait, c'est bien, tu peux juste tracer un petit segment à la place de la tangente complète.

Bonne continuation

[Jean]

Merci bien :). En fait les 2 traits tracé sur ma courbe sont les 2 asymptotes horizontales(très mal faites). Je n'ai pas encore tracé les tangentes sur ma courbes je vais le faire.
Cependant je n'ai pas bien compris la questions " On précisera les tangentes aux points d'abscisses -pi/4 , 0 et pi/4" un simple tracé approximatif (puisque leurs coefficients directeur est un nombre à virgule sauf pour celle en 0) ou faut il ajouter également les interprétations: courbe qui augmente de moins en moins vite?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je pense qu'il est plutôt question des tangentes en x = -1 et x = 1 c'est à dire pour x = tan(-pi/4) et x = tan(pi/4) ; sinon cela n'a pas trop d'intérêt, cela correspond au point d'ordonnées -pi/4 et pi/4.
Sinon on reste dans des valeurs approchées comme tu le dis.

Bon courage

[Jean]

Pourtant il est bien dit les tangente aux points d'abscisses-pi/4, 0 et pi/4, il n'est donc pas question d'ordonnées non? Si c'était les points d'ordonnées il suffirait de déduire leurs antécédents (donc les abscisses) grâce aux questions et par le fait que F soit impaire. Mais selon la question il s'agit bien des points d'abscisses puisque je le rappelle l'énoncé exact est "5) Donner l'allure de C dans un repère orthogonal.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses -pi/4 , 0 et pi/4."
Même si ceci me semble étrange et sans trop d’intérêt, de plus il faut aller chercher les points -pi/4 et pi/4 en abscisse ce qui est compliqué et approximatif, c'est peut être pour remarqué que la courbe est de moins en moins croissante non?

[Jean]

Pourtant le sujet exact est :
"5) Donner l'allure de C dans un repère orthogonal.
On précisera les tangentes aux points d'abscisses -pi/4 , 0 et pi/4."
il s'agirait donc bien des points d'abscisses -pi/4, pi/4 et 0, non? Si il s'agissait des ordonnées il suffirait de déduire leurs abscisses des questions précédentes et du fait que F est impaire ? Même si moi non plus je ne vois pas un réel intérêt, et que de plus aller chercher les points d'abscisses -pi/4, pi/4 et 0 est compliqué et peu précis, ceci est peut être pour remarquer que F croit lentement plus vite et encore lentement non?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Il faut donc se conformer au sujet, et donner des valeurs approchées.
Pour les variations de F' la limite en moins l'infini et en plus l'infini de \(\frac{1}{1+x^2}\) est 0 donc la fonction croit de moins en moins vite lorsque |x| tend vers l'infini jusqu'à être presque horizontale, la courbe suit les deux asymptotes que tu as tracées.

Bonne fin d'exercice

[Jean]

Merci beaucoup pour vos réponse, effectivement F'(x) a pour limite 0 lorsque x tend vers + ou moins l'infinie, les tangentes à la courbe ont donc un coefficient directeur de plus en plus petit lorsque qu'on se rapproche de plus ou moins l'infinie et par conséquent F croit lentement.
Je pense que mon exercice touche à son comble encore merci, bonne soirée :).