Spé Maths Chap PGCD PPCM

[Albane]

Bonjour, je suis en terminale S et je dois faire une devoir maison en maths spé mais je bloque sur certaines questions. Voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 5, on considère les nombres :
a=n^3-n²-12n
b=2n²-7n-4
1) Montrer après factorisation que a et b sont des entiers naturels divisibles par n-4

Pour cette question j'ai trouvé : a=(n-4)(n²+3n) et b=(n-4)(2n+1)

2) On pose u=2n+1 et v=n+3
On note d le PGCD de u et v
a) Établir une relation entre u et v indépendante de n
b) Démontrer que d est un diviseur de 5
c) Démontrer que les nombres u et v sont multiples de 5 si et seulement si, n-2 est multiple de 5

Pour ces questions j'ai essayé plusieurs choses mais elles ne même pas aux résultats que je veux donc si je pouvais avoir un petit coup de pouce merci. Il y a une troisième question mais je n'ai pas encore tout à fait réfléchi et j'attends de pouvoir faire celles ci-dessus.
Merci d'avance,

Albane

[SoS-Math(7)]

Bonsoir Albane,

Pour répondre au a) de la deuxième question, je te propose de regarder de plus près 2v et de comparer cette valeur à celle de u. Cela devrait te donner des idées pour répondre au a) puis au b).

Bonne continuation.

[Albane]

Alors j'ai essayer de faire comme vous me l'avez dit :

2v=2n+6
=2n+1+5

et donc 2v/u=5

pour le b) je ne suis pas sure de ma rédaction, je la trouve trop directe :

On sait que : PGCD(u;v)=d
2v/u=5
Ainsi, d est un diviseur de 5.

Pour le c)
n-2 multiple de 5 <=> 5/(n-2)
<=> 5/2(n-2) (Théorème de Gauss, avec 5 et 2 premiers entre eux)
<=> 5/2n-4
<=> 5/2(n-2)+5
<=> 5/u
J'ai fais le même raisonnement pou v mais je ne sais pas si c'est comme ça qu'il faut faire ou pas.

Pour le 3) J'ai utilisé le théorème de Bézout
Pour le 3a) et le 3b) je ne sais pas comment démarrer.

Merci d'avance,
Albane

[SoS-Math(7)]

Bonjour Albane,

Attention, tu as que 2v-u=5, non ce que tu as écrit...

Pour le c), il faut le faire en deux temps, tu vas commencer par démontrer (correctement) que :
Si u et v sont multiples de 5 alors (n-2) est un multiple de 5 ;
puis que si (n-2) est un multiple de 5 alors u et v sont des multiples de 5.

Pour la suite, je ne sais pas ce que tu avais à faire.

Bonne continuation.

[Albane]

Merci beaucoup.
Je vais faire ça alors et je vous redirai si j'ai réussi.

Pour le 3), voici l'énoncé :

3) Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux
3a) Déterminer suivant les valeurs de n et en fonction de n le PGCD de a et b.

Comme je l'ai marqué dans le message au dessus, j'ai utilisé le théorème de Bézout.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

C'est effectivement avec le théorème de Bezout que tu vas démontrer que (2n+1) et n sont premiers entre eux, il est relativement facile de trouver deux entiers u et v tels que u(2n+1)+vn=1.

Bonne continuation et à bientôt.