l'une des plus belles formules de maths

[Bastien]

Bonjour, j'ai un exercice que j'ai du mal à commencer, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ce serait bien!
1. [Roc] Soit f une fonction dérivable sur IR telle que \(f(x+t) = f(x)f(t)\) pour tous \(x\), t ∈ R.
(a) Montrer que \(f(0) = 1\) ou \(f(0) = 0\).
(b) Soit t ∈ IR fixé et g définie sur IR par \(g(x) = f(x + y)\). Montrer que pour \(x\) ∈ R,
\(g^{,}(t) = f^{,}(x + t) = f^{,}(x)f(t)\).
(c) En déduire f vérifie l’équation différentielle \(f^{,} = k f\) où\(k = f^{,}(0)\), puis \(f\).
2. Soit \(f\) : IR → C, \(x\) →\(cos(x) + isin(x)\).
(a) Démontrer que pour tous \(x\), t ∈ IR, \(f(x + t) = f(x)f(t)\).
(b) En admettant que les règles de dérivation sont encore valables, calculer \(f^{,}(0)\).
(c) Quelle notation faisant intevenir \(e\) pourrait-on adopter pour \(f(x)\) ?
3. On note \(e^{ix}= cos(x) + isin(x)\). En déduire la belle formule : \(e^{i\pi} + 1 = 0\)

1)a) f(x)=f(x)f(0)
f(x)-f(x)f(0)=0
f(x)(1-f(0))=0
f(x)=0 (pour tout x) ou f(0)=1
Donc f(0)=0 ou f(0)=1
Pour la suite, je bloque!
Merci de votre aide, d'avance!

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Il faut effectivement partir du fait que \(f(0)=f(0)\times f(0)\), soit \(f(0)-f(0)f(0)=0\). La factorisation donne bien le résultat recherché.
Pour la question (b), il faut bien avoir à l'esprit que t est fixé donc f(t) est un nombre fixé indépendant de x. Lors de la dérivation, utilise les formules vues en classe, (f(t)f(x))'=f(t)f'(x) !

Bonne continuation.

[Bastien]

Bonjour,
On sait que t est fixé donc f(t) est un nombre fixé indépendant de x, par conséquent le dérivé de g(x) est
\(g^{,}(x)=f^{,}(x+t)=(f(x)f(t))^{,}=f^{,}(x)f(t)\)
c) Je ne comprends pas!
2)D'après les formules trigonométrique, cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b) et sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
f(x+t)= cos(x+t)+isin(x+t)=cos(x)cos(t) – sin(x)sin(t) + isin(x)cos(t) + icos(x)sin(t)
= cos(x) (cos(t)+isin(t))+isin(x)(cos(t)+isin(t)) = (cos(x)+isin(x))(cos(t)+isin(t))=f(x)f(t)
Et pour la suite je ne comprends pas comment faire!

[SoS-Math(7)]

Bonjour Bastien,

Au b) tu as démontré que \(f^{,}(x + t) = f^{,}(x)f(t)\). Applique cette égalité pour x=0 tu as alors la réponse à ta question. Pour déterminer l'expression de f, reprends ton cours. Tu as vu que les solutions d'une équation différentielle de ce type sont \(f(x)=ce^{kx}\) f(0)=0 donne la fonction nulle et f(0)=1 donne la fonction \(f(x)=e^{kx}\).

2)a) Ce que tu as fait est juste.
b) Tu pars du principe que i est une valeur numérique et tu appliques les formules de dérivation habituelles pour déterminer f'(x) puis tu calcules f'(0).
c) Pour répondre à cette question, il faut faire le lien entre la question 1) et celle-ci. Je te laisse réfléchir.

Bonne continuation.

[Bastien]

1)c) Les solutions d'une équation différentielle de ce type sont \(f(x)=ce^{kx}\), f(0)=1 donne la fonction \(f(x)=e^{kx}\). Faut simplement trouver les solutions et exprimer la fonction f ??

2)b) f'(x)=-sin(x)+icos(x) puis on calcules f'(0)=i.
c) D'après les résultats précédentes, k=f'(0) or f'(0)=i donc \(f(x)=e^{ix}\).

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Oui Bastien, il faut juste exprimer la fonction f.
Ce que tu as fait pour la question 2) est correct.

Bonne continuation.