Equation différentielle (balle de ping pong)

[Dante]

Bonjour, ayant un dm à rendre à la rentrée, je bloque sur certaines questions...

Voici l'énoncé
-Une balle de ping-pong est lâchée dans l'air. Le bilan des forces à un instant t >0 conduit au schéma...
F vecteur va vers le haut et P vers le bas (normal)
-F (vecteur) est la force de frottement
-P(vecteur) le poids de la balle

-On note v(t) la vitesse de la balle à l'instant t. Pour t=0 la vitesse est nulle.
-On admet que la valeur de la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse. ...F=(mg/64)*v², ou m est la masse de la balle. g=9.8m.s-1
-D'après la deuxième loi de Newton le bilan des forces conduit à P+F(vecteurs)=ma (a vecteur) ou a vecteur représente l'accélération subie par la balle.
- En projetant sur un axe vertical orienté positivement vers le bas, on obtient, mg-F=m(dv/dt) (1)

1)Traduire l'équation (1) par une équation différentielle (2) d'inconnue v.
=> J'ai trouvé v' = (g/64)*(64-v²).

2) a.
On suppose que, pour tout réel t appartenant à [0;+infini[, v(t)<8. On pose alors, pour tout réel t dans [0;+infini[, w= 1/(v-8).
Montrer que résoudre
|v' = g/64 (64-v²)
|v(0) = 0

équivaut à résoudre
|w'=gw/4 + g/64
|w(0) = -1/8

=> Je suis bloqué, je ne vois pas comment résoudre cet equa diff qui me parait pourtant abordable...

2) b.
Résoudre le dernier système puis en déduire la solution sur [0;+infini[ de l'équation (1)

3) Au bout d'un certain temps, la vitesse se stabilise. La déterminer.


Merci d'avance!

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
l'équation différentielle est donc \(w^{\prime}= \frac{g}{4}w+\frac{g}{4}\)
Elle est de la forme Y ' = a Y +b dont vous avez du étudier la résolution en cours. Dans ce cas a = g/4 et b= g/4
Bon courage