Equation différentielle

[Nathan]

Bonjour, je n'arrive pas à faire un exercice, si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, ça serait bien!

Soit λ ∈]0; +∞[ . On recherche les solutions \(y\) définies sur [0; +∞[ et qui ne s’annulent pas de l’équation différentielle \((E)\) : y′ = λ (1 − y)y
1. Pour tout \(t\) ∈ [0; +∞[, on pose \(z(t) =\frac{1}{y(t)}\). Montrer que z est solution de z′ + λ z = λ si et seulement si \(y\) est solution de \((E)\).
2. En déduire l’ensemble des solutions de \((E)\)

Je ne comprends pas comment faire!
Merci d'avance!

[sos-math(22)]

Bonjour, Le but de ce forum est de vous aider à trouver la solution, mais pas de faire le travail à votre place. Veuillez reformuler votre demande en expliquant ce que vous avez déjà fait. A bientôt sur SoS-Math.

[Nathan]

Bonjour,
Je ne sais pas comment faire pour commencer, j'aimerais vous dire ce que j'ai fait mais la 1ère question me pose problème pour faire la suite!

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Tu suppose z solution de z'+lamda z= lamda

Tu calcules z' en fonction de y et y'. Puis tu remplaces dans l'équation différentielle ci dessus. Après calcul tu dois trouver que y est solution de (E).

Ensuite tu fais la réciproque.

sosmaths

[Nathan]

Bonjour,
Je ne vois pas comment faire! Quand je le fais, je ne trouve pas!

[SoS-Math(4)]

ecris moi tes calculs, svp.

sosmaths

[Nathan]

\(z^{,}=\frac{1}{y^{,}}\)<=>\(z^{,}=\frac{1}{ lambda (1 - y)y}\)
On le remplace dans l'équation différentielle:
z′ + λ z = λ <=> \(\frac{1}{ lambda (1 - y)y}+lambda\frac{1}{y}=\frac{1+lambda(lambda(1-y))}{ lambda (1 - y)y}\)
Mais après je bloque!

[SoS-Math(4)]

tu te trompes. z=1/y donc z'=-y'/y² ( voir formule dans le cours)

refais donc tes calculs, ça ira mieux.

sosmaths

[Nathan]

\(z^{,}=\frac{1}{y^{,}}\)<=>\(z^{,}=\frac{-y^{,}}{ y^{2}}=\frac{-(lambda(1-y))}{ y^{2}}\)

z′ + λ z = λ <=> \(\frac{-(lambda(1-y)y)}{ y^{2}}+lambda\frac{1}{y}=\frac{-(lambda(1-y)y)}{ y^{2}}+lambda\frac{y}{y^{2}}\)
<=> \(\frac{lambda(-(1-y)y-y)}{ y^{2}}=\frac{lambda(-y+y^{2}+y)}{ y^{2}}=\frac{lambda(y^{2})}{ y^{2}}=lambda\)
Pour la suite, je ne vois pas la solution!

[SoS-Math(4)]

N'utilise pas les 2 équations différentielles à la fois.

relie le message de 9.33pm

sosmaths

[Nathan]

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous voulez dire!

[SoS-Math(4)]

Bonjour

j'utilise m à la place de lamda.

z solution de z'+mz=m entraine que -y'/y²+m/y=m entraine que -y'+my=my² entraine que y'=my-my² entraine que y'=my(1-y) donc y est solution de (E)

maintenant , il faut faire la réciproque

y solution de (E) entraine que ..........

sosmaths

[Nathan]

Bonsoir,
on utilise m à la place de lamda
par réciproque

y solution de (E) entraine que y'=my(1+y) entraine que -z'/z²=m/y(1-1/z) entraine que -z'/z²=mz/z²-m/z² entraine que z'+mz=m entraine que donc z solution de z'+mz=m

Est-ce que c'est obligé de faire la reciproque?

[SoS-Math(4)]

Ok

On pourrait faire implication et réciproque en une seule fois, mais ça oblige à raisonner par équivalence et c'est toujours dangereux.

sosmaths

[Nathan]

Bonjour,
Donc faudrait faire
si z est solution de z'+mz=m alors y est solution de (E) et la réciproque si y est solution de (E) alors z est solution de z'+mz=m
Mais pour la dernière question, je ne comprends pas!