Etude d’une fonction auxiliaire

[Bastien]

Bonjour, J'ai du mal à faire un exercice. Si quelqu'un l'amabilté de m'aide, ce serait gentil!

Soit g la fonction définie et dérivable sur IR vérifiant : \(g(x) = 2e^{x}- x - 2\)
1. Calculer la limite de g en −∞ et justifier la limite de g en +∞.
2. Calculer \(g^{,}(x)\) et justifier son signe en fonction des valeurs de x. On donnera notamment la valeur exacte de A.
3. Faire le tableau de variations donné en le complétant et en justifiant par le calcul lavaleur du minimum de la fonction. Donner une valeur approchée à \(10^{-1}\) de ce minimum.
4. Justifier que l’équation \(g(x) = 0\) posséde une unique solution réelle, notée α, sur l’intervalle]−∞; A], et une unique solution réelle, notée β, sur l’intervalle [A; +∞[
5. Vérifier que β = 0. A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement à \(10^{-1}\)près de α.
6. A l’aide des questions précédentes, dresser le tableau de signes de g(x) sur IR

Voila ce que j'ai réussi à faire:
1)\(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}=0\) et \(\lim_{x \to -\infty}-x-2=+\infty\) donc \(\lim_{x \to -\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\) Je n'arrive à montrer que \(\lim_{x \to +\infty}2 e^{x}-x-2=+\infty\)!
2)\(g^{,}(x)=2e^{x}-1\) le signe de \(g^{,}\) est de signe de \(e^{x}-1\)
\(e^{x}-1>0\)<=> \(e^{x}>1\)<=>\(e^{x}>e^{0}\)<=>\(x>0\) donc \(g^{,}(x)\) est positive sur \([A;+\infty[\) et négative sur \([A;-\infty[\). Par conséquent, \(g(x)\) est croissant sur \([A;+\infty[\) et décroissant sur \([A;-\infty[\). \(2e^{x}-1=0\)<=>\(2e^{x}=1\)<=>\(x=ln2+1\) donc \(A=ln2+1\)
3)Le minimum est -ln(1/2)-1= -0.3
4) Je ne comprends pas comment faire!
5) Idem
Est-ce bon?
Merci d'avance!

[sos-math(20)]

Bonjour Bastien,

1) Pour la limite en \(+\infty\), il faut mettre \(x\) en facteur dans l'expression de \(g(x)\).

2) Votre dérivée est correcte, par contre \(g \prime (x)\) est du signe de \(2e^x-1\) et pas de \(e^x-1\). Il vous faut donc reprendre cette question.
Votre calcul de A est faux : \(2e^x-1=0\) est équivalent à \(e^x= \frac{1}{2}\); vous obtenez alors \(A=ln(\frac{1}{2})=-ln(2)\).

4) Pour cette question, il vous faut appliquer le théorème de bijection sur chacun des deux intervalles cités dans l'énoncé.

Bon courage.

SOS-math

[Bastien]

Bonsoir,
J'ai compris ce que vous avez fait mais il y a une question qui me pose problème
Soit f la fonction définie sur IR par \(f(x) = e^{2x} - (x + 1)e^{x}\)
Montrer que \(f(a)=\frac{-a^{2} + 2a}{4}\), où \(a\) est défini dans la question 5
A l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de \(f(a)\)

[sos-math(20)]

Bonjour,

Vous savez que \(g(\alpha)=0\), vous pouvez donc en déduire que \(e^{\alpha}=\frac{\alpha +2}{2}\); en remplaçant dans l'expression de \(f(x)\) vous obtiendrez le résultat souhaité.

Pour la valeur approchée de \(\alpha\), utilisez la tableau de valeurs fourni par la calculatrice et repérez à quel endroit \(g(x)\) pase du négatif au positif ou du négatif au positif.

Bon courage.

SOS-math

[Bastien]

Bonjour,
Je vous remercie!

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOS-math, Bastien.