PGCD premier/naturel

[Antoine]

Bonjour :)
Je viens vous demander votre aide concernant un exercice de spé dont l'énoncé est assez court mais dont je n'ai aucune idée de comment m'y prendre !!

"Soit p un nombre premier et n un entier naturel non nul. Montrer que PGCD (p ; n) = 1 ou que p divise n"
D'ailleurs, je ne comprends pas... Si on suppose que p = 2 et n = 9

Alors, oui, le PGCD de ces deux nombres est 1 mais 2 ne divise pas 9 ?


Voilà, si vous aviez une piste pour m'aider pour l'exercice ^^

Merci
Antoine

[sos-math(13)]

Bonjour,

il est bien précisé dans l'énoncé "ou".
Si l'une des deux conditions est remplie, alors c'est bon.

Tu peux considérer deux cas : soit \({p}\leq{n}\), soit \(p>n\).

Bon courage.

[Antoine]

Bonjour,
Okay d'accord mais ça ne m'avance pas trop ^^'

Qu'est-ce que je peux faire une fois après avoir distinguer ces deux cas ?

Merci
Antoine

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

Lorsque tu choisis deux entiers p et n distincts, alors il y a deux possiblités :
soit p < n
soit p > n

A nouveau pour chacun des deux cas tu as deux possibilités : ou bien p divise n ou bien p ne divise pas n ....
Et dans le cas où p ne divise pas n, il faut regarder le pgcd de n et p.

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
J'ai beau cherché ce que vous me dîtes je ne vois pas comment faire..

En quoi le fait de supposer n > p où n < p peut m'aider ici ?

Parce que si je suppose dans un premier temps que n > p
Soit p divise n, mais si p divise n alors leur PGCD n'est pas égal à 1
Soit p ne divise pas n, donc cela veut dire que PGCD (p ; n) = 1 ?

Et si je suppose que p > n dans un second temps que n < p
Soit p divise n, mais si p divise n alors leur PGCD n'est pas égal à 1
Soit p ne divise pas n, donc cela veut dire que PGCD (p ; n) = 1 ?

Merci
Antoine

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Reprenons ton travail :

Parce que si je suppose dans un premier temps que n > p
Soit p divise n, mais si p divise n alors leur PGCD n'est pas égal à 1. Non, leur PGCD est même égal à ...
Nous sommes quand même dans la proposition puisque p divise n ! ici c'est soit l'un, soit l'autre !
Soit p ne divise pas n, donc cela veut dire que PGCD (p ; n) = 1 ? Ton "?" semble indiquer que la conclusion ne te parait pas évidente. Pour cela, je t'invite à te demander quels sont les diviseurs d'un nombre p premier. Que reste-il comme possibilité lorsque l'on recherche le plus grand des diviseurs communs (PGCD) à p et n ?

dans un second temps n < p
Soit p divise n, mais si p divise n alors leur PGCD n'est pas égal à 1 Vu que n<p, p peut-il diviser n ?
Soit p ne divise pas n, donc cela veut dire que PGCD (p ; n) = 1 ? La réponse au cas d'avant devrait te permettre de voir l'explication à noter ici.

Bonne contnuation.

[Antoine]

Bonsoir,
Désolé du laps de temps je n'avais pas eu le temps de voir les réponses apportées

Si n > p
Dans le cas où p divise n on peut alors dire que le PGCD de (n ; p) est bien p donc ce n'est pas 1 n'est-ce pas ? (ça répond à une des deux conditions car p divise n)
Dans le cas où p ne divise pas n, alors pour moi le PGCD de (n ; p) est 1

Si n < p
Dans le cas où n divise p, alors on peut dire que le PGCD de (n ; p) est égal à n donc non égal à 1 mais p ne divise pas n non ?
Dans le cas où p ne divise pas n, alors le PGCD de (n ; p) est 1


Est-ce que c'est bon cette fois-ci (si on exclut le fait que je ne comprends pas le cas où n divise p car leur PGCD ne sera pas 1 et p ne peut pas diviser n...) ?

Merci
Antoine

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

Ton travail est juste !
Remarque : pour n < p, comme tu l'écris p ne divise pas n !

SoSMath.