Problème avec une équation différentielle

[Bastien]

Bonjour, j'ai un problème un exercice, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider! Merci d'avance de votre aide!
Soit (E) l'équation différentielle y'+ y = x+1
1) Déterminer une solution de (E) de la forme $f_{0}(x)$ = ax +b
2) Résoudre (H): y' + y = 0
3) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si $f - f_{0}$ est solution de (H).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
4) Laquelle de ces solutions vérifie f(0)=1?
5) On pose $f(x)= x-e^{-x}$. Pour tout x $\in$ IR. Etudier (variations, limites, asymptote oblique en -$\infty$) cette fonction.

Je ne comprends pas, je ne sais pas comment faire commencer, je ne sais résoudre que les équations de la forme
y' = ay+b mais ici c'est $f_{0}(x)$ = ax +b

[sos-math(22)]

Bonjour,
Tu cherches une solution de (E) de la forme $f_0(x)=ax+b$.
Tu commences ainsi :
$f_0$ est solution de (E) si et seulement si $f_0^{,}(x)+f_0(x)=x+1$ pour tout $x$ dans R.
Bonne continuation.

[Bastien]

Bonjour,
1) On cherche ne solution de (E) de la forme $f_0(x)=ax+b$.
$f_0$ est solution de (E) si et seulement si $f_0^{,}(x)+f_0(x)=a+ax+b$ pour tout $x$ dans R.
Par identification, $x+1= a+ax+b$ avec $a=1$ et $b=0$ donc $f_0(x)=x$
2)$y^{,}+y=0 <=> y^{,} =-y <=>$ pour tout x $\in$ IR, $y(x) = Ke^{-x}$
3)a) $f_0$ est solution de (E) <=>$f^{,}+f =x+1<=>f^{,}+f=f_0^{,}+f_0<=>(f-f_0)^{,}+f-f_0=0$donc $f-f_0$ est solution de H
b) $f_0$ est solution de (E) <=>$f-f_0$ est solution de H <=> pour tout x $\in$ IR, $f(x)-f_0(x)=Ke^{-x}$ donc pour tout x $\in$ IR, $f(x)=Ke^{-x}+x$.
4)On détermine K pour que f(0)=1: f(0)=1 <=> $Ke^{0}+0=1$ <=> $K=1$ Donc la solution qui passe par le point de coordonnées (0;1) est la fonction f définie sur IR par $f(x)=e^{-x}+x$
5) $f(x)=x+e^{-x}$ Variations
La fonction est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR et de dérivé:$f^{,}=1-e^{-x}$. Or $f^{,}$ est négative sur ]-$\infty$;0[et positive sur ]0;+$\infty$[. Donc $f(x)$ est décroissante sur ]-$\infty$;0[ et croissante sur ]0;+$\infty$[ avec comme maximum $x=0$
Limites
$\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0$ et $\lim_{x \to +\infty} x =+\infty$ donc $\lim_{x \to +\infty} x+ e^{-x}=+\infty$
$x+e^{-x}=e^{-x}( xe^{x}+1)$ Or $\lim_{x \to -\infty} xe^{x}=0$ d'après les croissances comparées et $\lim_{x \to -\infty} e^{-x}=0$ donc $\lim_{x \to -\infty} x+ e^{-x}=+\infty$
Mais pour l'asymptote oblique en $-\infty$, je ne vois pas!
Est-ce que c'est bon?

[sos-math(22)]

Bonjour Bastien,

C'est très bien.

Une petite étourderie à la fin :


(...) $\lim_{x \to -\infty} e^{-x}=+\infty$ donc $\lim_{x \to -\infty} x+ e^{-x}=+\infty$

(Faute signe en recopiant certainement.)

Pour l'asymptote, c'est $y=x$. Calcule la limite en $+$$\infty$ de $f(x)-x$.

Cette asymptote est en $+$$\infty$ et non en $-$$\infty$ comme indiqué dans ton énoncé.

Sinon, à la fin de l'énoncé, il est noté : on considère $f(x)=x-e^{-x}$.

Il n'y aurait pas une faute de signe ? Car je n'en vois pas dans ta résolution...

Bonne continuation.

[Bastien]

Vous avez raison , j'ai fait une petite erreur c'est bien: $f(x)=x+e^{-x}$
$\lim_{x \to +\infty}f(x)-x= \lim_{x \to +\infty} x+ e^{-x} -x=\lim_{x \to +\infty} e^{-x} =0$
On a donc une asymptote oblique d'équation $y=x$
Pour le reste est-ce que c'est bon?

[sos-math(22)]

Oui tout me semble bon, mais j'ai regardé assez rapidement.
Précise bien que l'asymptote oblique est en $+\infty$.
Bonne continuation.

[Bastien]

Merci de votre aide!

[sos-math(22)]

Bonne continuation.