Problème avec une équation différentielle

[Bastien]

Bonjour, j'ai un problème un exercice, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aider! Merci d'avance de votre aide!
Soit (E) l'équation différentielle y'+ y = x+1
1) Déterminer une solution de (E) de la forme \(f_{0}(x)\) = ax +b
2) Résoudre (H): y' + y = 0
3) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si \(f - f_{0}\) est solution de (H).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
4) Laquelle de ces solutions vérifie f(0)=1?
5) On pose \(f(x)= x-e^{-x}\). Pour tout x \(\in\) IR. Etudier (variations, limites, asymptote oblique en -\(\infty\)) cette fonction.

Je ne comprends pas, je ne sais pas comment faire commencer, je ne sais résoudre que les équations de la forme
y' = ay+b mais ici c'est \(f_{0}(x)\) = ax +b

[sos-math(22)]

Bonjour,
Tu cherches une solution de (E) de la forme \(f_0(x)=ax+b\).
Tu commences ainsi :
\(f_0\) est solution de (E) si et seulement si \(f_0^{,}(x)+f_0(x)=x+1\) pour tout \(x\) dans R.
Bonne continuation.

[Bastien]

Bonjour,
1) On cherche ne solution de (E) de la forme \(f_0(x)=ax+b\).
\(f_0\) est solution de (E) si et seulement si \(f_0^{,}(x)+f_0(x)=a+ax+b\) pour tout \(x\) dans R.
Par identification, \(x+1= a+ax+b\) avec \(a=1\) et \(b=0\) donc \(f_0(x)=x\)
2)\(y^{,}+y=0 <=> y^{,} =-y <=>\) pour tout x \(\in\) IR, \(y(x) = Ke^{-x}\)
3)a) \(f_0\) est solution de (E) <=>\(f^{,}+f =x+1<=>f^{,}+f=f_0^{,}+f_0<=>(f-f_0)^{,}+f-f_0=0\)donc \(f-f_0\) est solution de H
b) \(f_0\) est solution de (E) <=>\(f-f_0\) est solution de H <=> pour tout x \(\in\) IR, \(f(x)-f_0(x)=Ke^{-x}\) donc pour tout x \(\in\) IR, \(f(x)=Ke^{-x}+x\).
4)On détermine K pour que f(0)=1: f(0)=1 <=> \(Ke^{0}+0=1\) <=> \(K=1\) Donc la solution qui passe par le point de coordonnées (0;1) est la fonction f définie sur IR par \(f(x)=e^{-x}+x\)
5) \(f(x)=x+e^{-x}\) Variations
La fonction est dérivable sur IR comme somme de fonctions dérivables sur IR et de dérivé:\(f^{,}=1-e^{-x}\). Or \(f^{,}\) est négative sur ]-\(\infty\);0[et positive sur ]0;+\(\infty\)[. Donc \(f(x)\) est décroissante sur ]-\(\infty\);0[ et croissante sur ]0;+\(\infty\)[ avec comme maximum \(x=0\)
Limites
\(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\) et \(\lim_{x \to +\infty} x =+\infty\) donc \(\lim_{x \to +\infty} x+ e^{-x}=+\infty\)
\(x+e^{-x}=e^{-x}( xe^{x}+1)\) Or \(\lim_{x \to -\infty} xe^{x}=0\) d'après les croissances comparées et \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x}=0\) donc \(\lim_{x \to -\infty} x+ e^{-x}=+\infty\)
Mais pour l'asymptote oblique en \(-\infty\), je ne vois pas!
Est-ce que c'est bon?

[sos-math(22)]

Bonjour Bastien,

C'est très bien.

Une petite étourderie à la fin :


(...) \(\lim_{x \to -\infty} e^{-x}=+\infty\) donc \(\lim_{x \to -\infty} x+ e^{-x}=+\infty\)

(Faute signe en recopiant certainement.)

Pour l'asymptote, c'est \(y=x\). Calcule la limite en \(+\)\(\infty\) de \(f(x)-x\).

Cette asymptote est en \(+\)\(\infty\) et non en \(-\)\(\infty\) comme indiqué dans ton énoncé.

Sinon, à la fin de l'énoncé, il est noté : on considère \(f(x)=x-e^{-x}\).

Il n'y aurait pas une faute de signe ? Car je n'en vois pas dans ta résolution...

Bonne continuation.

[Bastien]

Vous avez raison , j'ai fait une petite erreur c'est bien: \(f(x)=x+e^{-x}\)
\(\lim_{x \to +\infty}f(x)-x= \lim_{x \to +\infty} x+ e^{-x} -x=\lim_{x \to +\infty} e^{-x} =0\)
On a donc une asymptote oblique d'équation \(y=x\)
Pour le reste est-ce que c'est bon?

[sos-math(22)]

Oui tout me semble bon, mais j'ai regardé assez rapidement.
Précise bien que l'asymptote oblique est en \(+\infty\).
Bonne continuation.

[Bastien]

Merci de votre aide!

[sos-math(22)]

Bonne continuation.