Dm : les vecteurs

[Louise]

Bonsoir !
J'ai un exercice pour mon devoir maison, mais je n'ai pas compris le cours en classe, donc je bloque dés la première question, pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance !

Exercice 3 :
Dans un plan muni d'un repère ( O,I,J ), le point A a pour coordonnées (-1,3), le point B a pour coordonnées (5,1), le point C a pour coordonnées (-3,7).
1) Déterminer une équation cartésienne des trois médianes du triangle ABC.
2) Vérifier que ces trois droites sont concourantes en un point G et déterminer ses coordonnées.

J'ai commencé par faire mon repère.

Et je sais qu'une équation cartésienne est de la forme ax+by+c=0 , mais j'ai pas compris alors je sais pas l'utiliser...
Merci !
Louise

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Louise,

Tu dois déjà savoir qu'une équation cartésienne sert à caractériser les points qui sont sur une droite, si les coordonnées vérifient l'égalité alors le point est sur la droite et sinon il ne l'est pas.
Pour obtenir une équation cartésienne on prend un point M de coordonnées (x ; y) et on va chercher l'égalité qui permet d'affirmer que ce point est aligné avec deux autres points A et B de la droite. pour cela on écrit que les vecteur \(\vec {AB}\) et \(\vec{AM}\) sont colinéaires, ce qui se traduit par la relation de colinéarité.
Ici commence par chercher les coordonnées du milieu A' de [BC] tu dois trouver (1 ; 4).
Pour la médiane (AA') : \(\vec {AA^,}\) a pour coordonnées :(1-(-1) ; 4-3) soit (2 ; 1) et \(\vec {AM}\) a pour coordonnées (x + 1 ; y - 3) la relation de colinéarité est donc la suivante : \(2\times(y-3)-1\times(x+1)=0\) développe et réduis cette équation pour obtenir une équation cartésienne de la droite (AB).
Procède de même pour les deux autres droites.

Pour G tu dois résoudre un système d deux équations à deux inconnues formé par exemple par les équations cartésiennes de (AA') et de (BB') ; puis tu dois vérifier que le couple (x ; y) que tu viens de trouver vérifie bien l'équation de (CC').

Bon courage pour tous ces calculs.

[Louise]

Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre réponse, je commence à comprendre la question 1, expliqué de cette manière.
Donc pour la droite (AB) j'ai dévelopé et j'ai trouvé 2y-1x-7=0 , c'est ça l'équation cartésienne de cette droite ?

J'ai calculé les coordonnées de C', milieu de AB, ce qui donne C'(2;2) , si je me suis pas trompée, et la médiane CC' a pour coordonnées (5,-5) , je crois.
Et CM= (x+2;y-3), c'est ça ?
Donc l'équation cartésienne c'est...
5(y-3)-1(x+2)=0 ?
J'ai fait n'importe quoi je crois ...

Merci,
Bonne nuit, a demain.

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Ton calcul pour la médiane (AA') est juste. Les coordonnées des milieux B' et C' le sont également.

Pour la médiane (CC') tu as \(\vec{CC^{,}}(5;-5)\) par contre, C(-3;7) tu as donc commis une erreur dans les coordonnées de \(\vec{CM}\).

Reprends ta démarche à ce niveau et fais toi confiance !

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,

Mince oui je me suis trompée, c'est donc CM (x-5;y+5), c'est juste cette fois ?
Et pour l'équation cartésienne c'est : 5(x-5)+5(y+5)=0 ? je sais pas si c'est ça, j'ai pas super bien compris.
Et c'est pour qu'elle droite celle là ?
Merci beaucoup.

[Louise]

Oups, je me suis trompée !
CM (x+3;y-7) plutot non ?
Donc l'équation est 5(x+3)-5(y-3)=0 ?

[SoS-Math(9)]

Louise,

Pour \(\vec{CM}\) je suis d'accord, par contre ton équation est fausse ...

Rappel : \(\vec{u}(x;y)\) est colinéaire à \(\vec{v}(x^,;y^,)\) <=> \(xy^,-x^,y=0\).

SoSMath.

[Louise]

Bonjour,

Merci, je sais pas si j'ai compris, mais alors ça serait 5(y-7)+5(x+3)=0 ?
J'espère que c'est juste cette fois.

J'ai fait la dernière aussi, c'est B'(-2;5)
BB'(7;-4)
BM(x-5;y-1)
donc l'équation est
7(y-1)+4(x-5)
C'est correct ? mais c'est pour quelle droite cette équation ?

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

Tu as corrigé ton erreur. Il te reste encore à développer et à simplifier tes équations.
La première 5(y-7)+5(x+3)=0 correspond à l'égalité obtenue à partir du fait que les vecteurs \(\vec{CC^{,}}\) et \(\vec{CM}\) sont colinéaires, c'est donc l'équation cartésienne de la droite (CC').

De même la suivante a été obtenue en utilisant le fait que les vecteurs \(\vec{B^{,}B}\) et \(\vec{BM}\) étaient colinéaires, c'est donc l'équation cartésienne de la médiane (BB').

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour !
D'accord, merci beaucoup.
J'ai dévelopé, l'équation cartésienne de la droite (CC') est donc 5y+5x-20=0
Et celle de la droite (BB') est 7y+4x-27=0
J'ai donc trouvé mes 3 équations cartésiennes pour la question 1, merci !

Pour la question 2) j'ai fais un systhème de deux équations comme vous me l'aviez dit, ça m'a donné :
2y-1x-7=0
5y+5x-20=0

y=3,5+0,5x
y=20-x

Je sais pas si c'est juste, mais en tous cas je sais plus comment on trouve (x;y) avec ça... je suis à nouveau bloquée...

[SoS-Math(7)]

Bonjour,

La première question est faite !

Pour la suite, le nombre y dans tes deux expressions est le même, il ne te reste plus qu'à écrire une égalité dans laquelle tu vas pouvoir déterminer la valeur de x.
Ensuite, calcule la valeur de y en utilisant une des deux égalités.

Bonne continuation.

[Louise]

Bonjour,

J'ai pas très bien compris... Ce que j'ai fait ne sert à rien alors.
x= -7+2y ?
x=20-y ?
Je dois faire un systhème, non ?
Merci.

[SoS-Math(9)]

Louise,

Si tu as x = -7+2y et x=20-y alors -7+2y = 20-y (=x) ... ce qui va te donner y !

SoSMath.

[Louise]

Bonjour,
Je viens de comprendre je crois, merci !
Donc comme j'avais
y=3,5+0,5x
y=20-x
j'ai trouvé x=11
et -7+2y = 20-y
y=9
c'est correct ?
Donc j'ai (11;9) mais je fais quoi après ?

[SoS-Math(9)]

Louise,

La résolution de système est juste.
donc les coordonnées trouvées sont celles du point d'intersection des deux droites !

Remarque je pense que tu as fait une erreur dans tes équations ... tu as trouvé 5y+5x-20=0 ce qui donn y+x-4 = 0 (et non y+x-20=0).

SoSMath.