dérivation

[Invité]

bonsoir,
le raisonnement suivant est-il valable :
si f(x) = 3 x^2 - 2 x +5 alors f'(x) = 6 x - 2 et la limite de f' en +infini est +infini donc la limite de f en +infini est +infini.
(Je n'arrive pas à trouver de contre-exemple éventuel)
Merci
Cédric

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Cédric.
Ce raisonnement est faux. Voici un contre-exemple.
la limite d'une fonction n'est pas celle de sa dérivée.
Prenez la fonction racine et sa dérivée.

\(\lim_{x \to +\infty}\sqrt{x} = +\infty\)

et \(\lim_{x \to +\infty}\frac {1}{2\sqrt{x}} = 0\)

Bon courage

[Invité]

oui mais si la limite de la dérivée est +infini ne peut-on pas conclure quant à la limite de f
(dans votre exemple la limite de la dérivée tend vers 0 : je n'arrive pas à trouver de contre-exemple où la limite de la dérivée est +infini et où la fonction f ne tend pourtant pas vers l'infini, ce qui me permettrai de contredire mon implication).
Merci à vous de m'aider à trouver un tel contre-exemple : celui que vous me proposez, si je ne me trompe, prouve que l'implication f tend vers l'infini ==> f' tend vers l'infini est fausse mais pas forcément celle que j'utilise.
Cédric

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
vous avez raison, c'est l'implication inverse dont je vous ai donné un contre-exemple.
Je réfléchis à votre problème.

[SoS-Math(2)]

Bonjour Cédric.
Vous ne trouverez pas de contre-exemple car il n'y en a pas.
Avez-vous déjà travaillé sur les primitives et les intégrales? On peut le démontrer avec ces deux notions et la définition de la limite infinie à l'infini.
A bientôt.

[Invité]

merci pour votre réponse.
Même si nous n'avons pas encore abordé les primitives et les intégrales, une démonstration m'intéresserait (je la garderai soigneusement sous le coude).
Merci
cordialement,
Cédric

[SoS-Math(7)]

A bientôt

SOS Math

[Invité]

Bonsoir
A ce jour, je connais la théorie sur les primitives.
Pourriez-vous m'apporter la preuve de la proposition postée le 12 octobre ?
Merci beaucoup
Cédric

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Cédric,

Pour commencer tu peux écrire la définition de \(\lim_{x \to +\infty} f'(x) = +\infty\)

Puis, grace à l'inégalité obtenu avec f '(x), tu pourras montrer que \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\).

A toi de rédiger cette démonstration.

Bon courage,
SoSMath.