g(x) = x cosx - sinx

[Invité]

Bonsoir à tous, voila les 1questions 1a et 1b ne me pose aucun problème seulement la suite reste un problème ( sauf la 4 surment)

1) On désigne par g la fonction définie sur [0;pi] par : g(x) = x cosx - sinx
a) Etudiez les variations de g et dressez son tableau de variations.
b) Déduisez en le signe de g(x) sur [0;pi]

2) Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur [0;pi] par :
f(x)=sinx/x si 0<x<ou égal pi et f(0) = 1
Etudiez les variations de f sur ]0;pi]

3) le but de cette question est d'étudier la dérivabilité de f en x = 0

3.a) x> égal à 0, 0<ou égal x-sinx<ou égal x^3/6
Pour cela on introduira la fonction FI définie sur [0;+infini[ par :
FI(x)= sinx-x+ x^3/6
On calculera Fi'(x), FI''(x) et FI'''(x) et on en déduira le signe de FI


3.b) Démontrer que f est dérivable en x = 0 et calculer f'(0)

4. Construisez la courbe C représentative de f dans un repère orthonormal

Voila en espérant etre aider

Bone Soirée à tous les matheux ou pas !

Rémy

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
pour la question, vous devez calculer la dérivée de f et vous aurez f '(x) = g(x)/x²
Donc à l'aide du 1) vous pourrez étudier le signe de f '(x) pour en déduire les variations de f.
Bon courage

[Invité]

Por les questions 1 a et 1 b j'ai trouvé mais c'est pour le reste !

[SoS-Math(1)]

Bonjour,
Vous avez donc trouvé que f est dérivable sur ]0;pi] et que f'(x)=g(x)/x^2.
Vous obtenez donc les variations de f sur ]0;pi[ puisque vous connaissez le signe de g.
Est-elle dérivable en 0?
Pour cela, il faut étudier la limite lorsque x tend ver 0+ de (f(x)-f(0))/(x-0) ou encore, tous calculs faits la limite lorsque x tend vers 0+ de (sin(x)-x)/(x^2).
C'est pour étudier cette limite que l'on vous demande un encadrement de x-sin(x).
Pour obtenir cet encadrement, on vous fait étudier la fonction FI.
En fait, vous trouverez que FI''' est positive donc FI'' est croissante.
Or FI''(0)=0, donc FI'' est positive et ainsi de suite... pour obtenir une partie de l'encadrement.
Je vous ai bien mis sur la voie.
Bon courage.