Position relative d'une courbe par rapport à sa tangente

[Needhelp]

Bonsoir,

Je suis en train de faire un exercice mais je bloque sur une question. Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)=e^2x+2(e^x)-3. On note C sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O, i, j).

1) Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0

J'ai trouvé y = 4x

2) Etudier la position relative de C par rapport à T.
On pourra étudier le sens de variation de la fonction g définie sur R par g(x)=f(x)-4x et calculer g(0).

Là je n'y arrive pas.
Je pense être parti sur une fausse piste mais voilà ce que j'ai trouvé :

g'(x) = 2(e^2x)+2(e^x)-4
Je pose X = e^x

J'ai donc :
2X²+2X-4=0
Delta = 36
Donc il existe 2 solutions
X1=1
X2=-2

Et je résous les équations
e^x = 1 donc x = 0
e^x = -2 ; donc pas de solution dans R

A partir de là, ça devient un casse-tête et les résultats que j'obtiens ne sont plus du tout cohérents.

P.S : Avec la calculatrice, on peut voir que C est au dessus de T pour tout x différent de 0.

Pouvez-vous m'aider à répondre à la seconde question ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

C'est pas mal ce que tu as fait , mais on peut améliorer.
Tu as trouvé les racines de 2X²+2X-4, donc tu peux factoriser : 2X²+2X-4=2(X-1)(X+2)

Donc tu peux factoriser g(x):

g(x)=2(e^x-1)(e^x+2)

Il te reste à faire un tableau de signes avec cette dernière expression.


sosmaths

[Needhelp]

Bonjour,

Le problème est que je ne peux pas résoudre e^x = -2 (ou plutôt, on ne nous à pas encore appris à le faire).

J'ai pensé à une autre façon de répondre à la question :

g'(x) = 2(e^2x)+2(e^x)-4

g'(X) = 2X²+2X-4

Maintenant je résous :
2(e^2x)+2(e^x)-4 > 0
Je pose X = e^x et j'ai :
2X²+2X-4 > 0
donc delta = 36
X1 = 1
X2 = -2

2X²+2-4 est du signe de 2 à l'extérieur des racines donc
2X²+2X-4 > 0 si
X < -2 ou X > 1
e^x < -2 ou e^x > 1

L'inéquation e^x < -2 n'a pas de solution car e^x est positif.
e^x > 1 si x > 0

Puis je résous 2(e^2x)+2(e^x)-4 = 0
et comme tout à l'heure on a pour seule solution x = 0

Et donc j'en déduis que 2(e^2x)+2(e^x)-4 < 0 si x < 0

J'ai les signes de la dérivée et je peux trouver les variations de g(x).
Donc j'en déduis que C est au dessus de T.

Qu'en pensez-vous ?
Encore merci pour votre aide.

[SoS-Math(4)]

Le problème est que je ne peux pas résoudre e^x = -2

Tu n'as pas besoin. Tu sais que pour tout réel x, e^x>0donc pour tout x, e^x+2 >0.

Donc tu peux remplir ton tableau de signes.

Ce que tu as fait semble correct mais c'est plus "dangereux" que ce que je te propose.
D'ailleurs tu utilises la même chose que moi lorsque tu écris :

L'inéquation e^x < -2 n'a pas de solution car e^x est positif.

:


sosmaths

[Needhelp]

Je crois avoir compris, merci beaucoup pour votre aide !

[SoS-Math(4)]

Ok, à bientôt

sosmaths