complexes
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Bonjour, j'ai la correction d'un exercice mais je ne la comprends pas à un moment. Pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Voici l'énoncé: soit le nombre complexe z=1-i√3
Proposition: si l'entier naturel n est un multiple de 3 alors z puissance n est un réel.
Je comprends la démarche à éffectuer jusqu'a ce qu'il y est écrit: (8e^(-iπ))puissance k = (-8)puissance k.
je ne comprends pas pourquoi (8e^(-iπ)) = (-8). Merci pour vos réponses
Voici l'énoncé: soit le nombre complexe z=1-i√3
Proposition: si l'entier naturel n est un multiple de 3 alors z puissance n est un réel.
Je comprends la démarche à éffectuer jusqu'a ce qu'il y est écrit: (8e^(-iπ))puissance k = (-8)puissance k.
je ne comprends pas pourquoi (8e^(-iπ)) = (-8). Merci pour vos réponses
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Re: complexes
Bonjour Manon,
Je crois que tu as confondu n et k.
En fait, supposons que n soit un multiple de 3.
Dans ce cas, on a n=3×k avec k entier naturel.
Or on a : 1−i√3=2e−iπ3 (à détailler).
Donc : (1−i√3)n=(2e−iπ3)n=2ne−inπ3=23ke−i3kπ3
D'où : (1−i√3)n=8ke−ikπ
Enfin, e−ikπ=(−1)k ; c'est-à-dire égal 1 si k est pair et −1 si k est impair. Penser ici au cercle trigonométrique. En effet, on fait, dans le sens inverse du sens trigonométrique, k demi-tours.
Finalement, (1−i√3)n=8k×(−1)k=(−8)k
Bonne continuation.
Je crois que tu as confondu n et k.
En fait, supposons que n soit un multiple de 3.
Dans ce cas, on a n=3×k avec k entier naturel.
Or on a : 1−i√3=2e−iπ3 (à détailler).
Donc : (1−i√3)n=(2e−iπ3)n=2ne−inπ3=23ke−i3kπ3
D'où : (1−i√3)n=8ke−ikπ
Enfin, e−ikπ=(−1)k ; c'est-à-dire égal 1 si k est pair et −1 si k est impair. Penser ici au cercle trigonométrique. En effet, on fait, dans le sens inverse du sens trigonométrique, k demi-tours.
Finalement, (1−i√3)n=8k×(−1)k=(−8)k
Bonne continuation.
Re: complexes
merci pour votre réponse mais je suis désolée, mais je ne comprends pas pourquoi e^(-ikπ) = (-1)^k, je vois que k est impair mais je ne vois pas pourquoi on peut on déduire cette égalité...
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Re: complexes
bonjour,
e^(ipi)= cos(pi)+isin(pi)=-1+0.i=-1
sosmaths
e^(ipi)= cos(pi)+isin(pi)=-1+0.i=-1
sosmaths
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Re: complexes
Rebonjour,
Attention k n'est pas toujours impair.
Il y a deux cas à envisager :
1) si k est pair alors e−ikπ=1 ;
2) si k est impair alors e−ikπ=−1.
Pour comprendre cela vous pouvez :
- utiliser la formule eix=cos(x)+isin(x), ou bien,
- tracer un cercle trigonométrique et représenter les nombres complexes de module 1 et d'arguments −kπ en considérant les deux cas : k pair ou impair.
Bonne continuation.
Attention k n'est pas toujours impair.
Il y a deux cas à envisager :
1) si k est pair alors e−ikπ=1 ;
2) si k est impair alors e−ikπ=−1.
Pour comprendre cela vous pouvez :
- utiliser la formule eix=cos(x)+isin(x), ou bien,
- tracer un cercle trigonométrique et représenter les nombres complexes de module 1 et d'arguments −kπ en considérant les deux cas : k pair ou impair.
Bonne continuation.