complexes

Retrouver tous les sujets résolus.
Verrouillé
manon

complexes

Message par manon » dim. 5 juin 2011 10:12

Bonjour, j'ai la correction d'un exercice mais je ne la comprends pas à un moment. Pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Voici l'énoncé: soit le nombre complexe z=1-i√3
Proposition: si l'entier naturel n est un multiple de 3 alors z puissance n est un réel.
Je comprends la démarche à éffectuer jusqu'a ce qu'il y est écrit: (8e^(-iπ))puissance k = (-8)puissance k.
je ne comprends pas pourquoi (8e^(-iπ)) = (-8). Merci pour vos réponses
sos-math(22)
Messages : 1694
Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53

Re: complexes

Message par sos-math(22) » dim. 5 juin 2011 11:54

Bonjour Manon,

Je crois que tu as confondu n et k.

En fait, supposons que n soit un multiple de 3.

Dans ce cas, on a n=3×k avec k entier naturel.

Or on a : 1i3=2eiπ3 (à détailler).

Donc : (1i3)n=(2eiπ3)n=2neinπ3=23kei3kπ3

D'où : (1i3)n=8keikπ

Enfin, eikπ=(1)k ; c'est-à-dire égal 1 si k est pair et 1 si k est impair. Penser ici au cercle trigonométrique. En effet, on fait, dans le sens inverse du sens trigonométrique, k demi-tours.

Finalement, (1i3)n=8k×(1)k=(8)k

Bonne continuation.
manon

Re: complexes

Message par manon » dim. 5 juin 2011 13:16

merci pour votre réponse mais je suis désolée, mais je ne comprends pas pourquoi e^(-ikπ) = (-1)^k, je vois que k est impair mais je ne vois pas pourquoi on peut on déduire cette égalité...
SoS-Math(4)
Messages : 2724
Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12

Re: complexes

Message par SoS-Math(4) » dim. 5 juin 2011 16:04

bonjour,

e^(ipi)= cos(pi)+isin(pi)=-1+0.i=-1

sosmaths
sos-math(22)
Messages : 1694
Enregistré le : lun. 6 sept. 2010 16:53

Re: complexes

Message par sos-math(22) » dim. 5 juin 2011 16:52

Rebonjour,

Attention k n'est pas toujours impair.

Il y a deux cas à envisager :

1) si k est pair alors eikπ=1 ;
2) si k est impair alors eikπ=1.

Pour comprendre cela vous pouvez :

- utiliser la formule eix=cos(x)+isin(x), ou bien,

- tracer un cercle trigonométrique et représenter les nombres complexes de module 1 et d'arguments kπ en considérant les deux cas : k pair ou impair.

Bonne continuation.
Verrouillé