Suites

[CIRDEC]

Bonsoir,
soit la suite (Un) définie par Un = n^2 - 5n et étudions ses variations.
Première méthode : U(n+1) - U(n) = 2n - 4 donc la suite U est croissante à partir du rang 2
Deuxième méthode : soit f la fonction définie sur les réels positifs par f(x) = x^2 - 5 x
alors U a les mêmes variations que f.
f'(x) = 2x - 5 donc f est croissante sur [5/2 ; +inf] et donc U est croissante à partir du rang 3.

QUESTIONS :
1) pourquoi ne trouve-t-on pas les mêmes résultats suivant les méthodes.
2) peut-on écrire que la suite U est croissante sur [2 ; +inf] et décroissante sur [0 ; 2] ou est-ce incorrect ?

[sos-math(22)]

Bonjour CIRDEC,

Oui, tes deux méthodes sont justes et correctement appliquées.

Rassure-toi, la contradiction n'est qu'apparente !

En ce qui concerne la première méthode, on raisonne par équivalence :
$u_{n+1}-u_n\geq0$ équivaut à $n\geq2$.

Mais dans la seconde méthode, il s'agit seulement d'une implication :

si $f$ est croissante sur l'intervalle [$n_0$ ; $+\infty$[ alors la suite ($u_n$) est croissante à partir de $n_0$ .

Pour ton exemple, tu as bien démontré (avec la seconde méthode) que ($u_n$) est croissante à partir de $n_0=3$ ; ce qui ne signifie pas que $n_0=3$ est le plus petit entier pour lequel la suite est croissante à partir de $n_0$.

D'ailleurs, nous pouvons vérifier dans un second temps que $u_2=f(2)=u_3=f(3)=-6$ ; et donc que la suite est croissante (au sens large) dès $n_0=2$ .

Pour la seconde question, note que l'on définit le sens de variation d'une suite à partir d'un certain rang et non pas sur un intervalle (car on ne considère que les nombres entiers naturels).

Bonne continuation.

[CIRDEC]

Bonjour,
merci beaucoup,
tout est clair pour la croissance de U.
peut-on quand même dire que la suite U est décroissante du rang 0 au rang 2 (ou 3) ?
Cordialement,
Cédric

[sos-math(22)]

Bonjour,
Oui, si tu écris cela je ne pense pas que l'on te dira que c'est faux...
Cependant, peut-être est-il préférable de dire que les trois (ou quatre) premiers termes de la suite sont rangés par ordre décroissants et de préciser que :
$u_0\geq u_1\geq u_2\geq u_3$
Bonne continuation.