Intégration et suite

[Josiane]

Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je suis bloqué à une question. Voici mon exercice :

Pour n appartient a N*, on définit sur R la fonction fn par fn(x)=x^n/1+x^2. On pose f0(x)=1/1+x^2. Pour n appartient à N, on note Tn la représentation graphique de fn dans un repère orthonormal. On pose In=intégrale de 0 a 1 de (t^n/1+t^2)dt.
1.a.Etudier le sens de variation de f1 et déterminer ses limites aux bornes. On note T1 la courbe de f1.
b.Calculer I1
2.a.Etudier le sens de variation de f3 et determiner ses limites aux bornes. On note T3 la courbe de f3
b.Calculer I1+I3 et en déduire I3
c.Calculer l'aire à la surface limitée par T1, T3 et les droites d'équations x=0 et x=1.

Alors moi je bloque à la question 2b les précédentes j'ai fait. Je ne vois pas comment trouver une primitive de I3 en faite.
Merci de votre aide d'avance

[sos-math(21)]

Bonsoir,
J'imagine que tu as trouvé $I_1=\frac{1}{2}\ln2$.
Pour $I_3$, calculons $I_1+I_3=\int_{0}^{1}\frac{t}{1+t^2}dt+\int_{0}^{1}\frac{t^3}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}\frac{t+t^3}{1+t^2}dt=\int_{0}^{1}\frac{t(1+t^2)}{1+t^2}dt$ donc en simplifiant par $1+t^2$, il vient $I_1+I_3=\int_{0}^{1}tdt$ je te laisse ce calcul, il restera à enlever $\frac{1}{2}\ln2$ à ce résultat pour obtenir $I_3$.

[Josiane]

D'accord merci beaucoup et pour la dernière question c'est quoi exactement l'intégrale à calculer ? je sais que c'est entre O et 1 mais je sais pas c'est quoi la fonction.

[Josiane]

est ce que le résultat du b est 1/2-1/2ln2 ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
Le résultat du b est bien $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln2$.
Pour la dernière question, l'aire comprise entre la courbe T1 et les droites d'équations x=0, x=1 vaut $I_1$ car la fonction est positive.
Pour la dernière question, l'aire comprise entre la courbe T3 et les droites d'équations x=0, x=1 vaut $I_3$ car la fonction est positive.
Donc l'aire coincée entre les deux courbes vaut $I_1-I_3$
Visualisation graphique :

[Josiane]

Je voulais lequel de ces résultat est bon ? ln2-1/2 ou -1/2. Je serais plus pour le 2eme mais je ne suis pas sur ?

[SoS-Math(9)]

Josiane,

As-tu lu le message précédent ... la réponse est dedans !

SoSMath.

[Josiane]

Ah oui je vois merci beaucoup !
Voilà j'ai une autre parti à mon exercice mais je bloque à une question. Voici ma 2ème partie :
1) Etudier le sens de variation de f0 et déterminer ses limites aux bornes.
2) pour n appartient à N*, on pose An= intégrale de 0 à n de (1/(1+t^2))dt.
a. Interpréter graphiquement An.
b. Montrer que la suite (An) est croissante.
c.Montrer que A1<1
d. Montrer que intégrale de 1 à n de (1/(1+t^2))dt<1-1/n
e. Montrer que pour n appartient à N*, An<2.
Que peut on en déduire pour la suite (An) ?

Moi je bloque à la question b, il faut montrer que An+1-An>0 je veut donc calculer An+1 donc trouver une primitive de 1/1+t^2 mais je ne trouve pas pouvez vous m'aidez ? Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Bonjour Josiane,

La primitive de $f(t)=\frac{1}{1+t^2}$ n'est pas à ton programme ...
Ici Il faut effextivement étudier la différence $A_{n+1}-A_n$ et pour cela il faut utiliser les propriétés de l'intégrale.

Je t'aide un peu ... La relation de Chasles donne $A_{n+1}=\int_{0}^{n+1}\frac{1}{1+t^2}dt=\int_{0}^{n}\frac{1}{1+t^2}dt+\int_{n}^{n+1}\frac{1}{1+t^2}dt$.

SoSMath.

[Josiane]

Ok mais comment démontrer que intégrale de 0 à n+1 de t/1+t^2 est positif puisque c'est le résultat de An+1-An ?

[sos-math(20)]

Bonjour Josiane,

Tu veux aller trop vite et tu ne tiens pas assez compte des conseils que l'on te donne dans nos différents messages.

Avant de te préoccuper du signe de $A_{n+1}-A_n$, commence par en trouver l'expression correcte car pour l'instant le résultat que tu proposes ne convient pas.

Bonne continuation.

SOS-math