Equation complexe un peu étrange

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Ferad

Equation complexe un peu étrange

Message par Ferad » mar. 12 avr. 2011 23:12

Bonsoir !

Alors voilà, je cherchais des exercices sur les nombres complexes et je suis tombé sur cette équation intrigante :

z22cos(θ)z+1=0

Aucun corrigé l'accompagne malheureusement, d'où mon poste.

Voici ma réponse :

δ=(2cos(θ))24
δ=4cos2(θ)4
δ=4(cos2(θ)1)

Voyons cette égalité de plus près :
(1)cosθ1

1cos2θ0 "positivité" de la fonction carré sur R

0cos2θ11

J'aurai pu aussi faire comme suit :

cos2θ+sin2θ=1 équivaut à cos2θ=1sin2θ

et enfin δ=4(1sin21)=4sin2θ0

On peut dire que : δ0
Et là, il y a un problème... Puisque notre cher discriminant n'est pas strictement négatif. J'en ai déduis qu'il n'existait tout simplement pas de solution. Mais en fait, juste derrière l'équation, on doit déduire les solutions de : z42cos(θ)z2+1. J'ai pensé qu'on doit tout simplement dire que Z=z2 puis Z22cos(θ)Z+1=0 et en déduire qu'il n'y existe aucune solution. J'en suis pas convaincu.

Merci par avance.
sos-math(12)
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Re: Equation complexe un peu étrange

Message par sos-math(12) » mer. 13 avr. 2011 09:16

Bonjour Ferad :

Tu dois donc mener une discussion selon que δ=0 (racine double réelle) ou δ<0 (racines complexes conjuguées).

Bonne continuation
Ferad

Re: Equation complexe un peu étrange

Message par Ferad » mer. 13 avr. 2011 14:59

Bonjour,

Effectivement, ça m'avait traversé l'esprit mais je n'avais pas osé.

J'ai trouvé donc :
z0=cosθ

z1=cosθisinθ

z2=¯z1=cosθ+isinθ

Mais pourrait-on être un peu plus précis ? Du genre, définir les intervalles ou les solutions soient toujours vraies ?

C'est ce que j'ai tenté de faire mais j'ai un gros doute sur la pertinence de ce j'ai fait.

Je reprends donc notre ami δ et je pose : f(θ)=4sin2θ
Une fonction définie et dérivable sur R.
dydx=4.2cosθ.sinsθ=8cosθ.sinθ (j'arrive pas à écrire l'apostrophe)

Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodiques donc j'étudie sur l'ensemble [0;π] qui sera une portion de la fonction f

cosθ.sinθ=0 sicosθ=0θ=π/2

De la on en déduis que
cosθ.sinθ<0θ<π2
cosθ.sinθ>0θ>π2

Donc f(θ) est strictement décroissante sur ]0;π2[ et strictement croissante sur ]π2;π[ et il en va donc de même pour δ

Conclusion : z1 et z2 sont seulement valable pour θ]0;π2[]π2;π[ et z0 pour θ=π2

Après je suppose qu'il faut "exporter" les intervalles si je puis dire, mais je ne vois pas comment faire.

Bon je viens d'apercevoir que l'équation n'est pas nulle pour z0=cos(π2)
Je crois que je viens de faire n'importe quoi..

Merci.
sos-math(20)
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Re: Equation complexe un peu étrange

Message par sos-math(20) » jeu. 14 avr. 2011 07:23

Bonjour Ferad,

Votre discussion sur le signe de δ me paraît bien compliquée :

δ=0 équivaut à sinθ=0 équivaut à θ=kπ où k est un entier : dans ce cas l'équation admet une racine réelle double qui est bien z=cosθ (qui vaut +1 ou - 1 selon les valeurs de k).

Par contre, si δ0 c'est à dire si δkπalors il y a deux racines complexes conjuguées qui sont celles que vous avez données.

La résolution de cette équation s'arrête là et il n'y a pas lieu de considérer une fonction et ses variations comme vous l'avez fait.

Bonne journée.

SOS-math
sofiane

Re: Equation complexe un peu étrange

Message par sofiane » ven. 15 avr. 2011 10:28

Bonjour

Désolé de vous dérangé dans ce post, cette équation est bien intérréssante en effet.Je voulais juste revenir sur l'équation Sin x = 0 <=> x = k *pi ,si on avait eu Cos x = 0 l'équivalence serait la même ou on aurait 2*k*pi pour résultat (Cos x=0 <=> x = 2*k*pi )


Cordialement
sos-math(20)
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Re: Equation complexe un peu étrange

Message par sos-math(20) » ven. 15 avr. 2011 16:20

Bonjour Sofiane,

L'équation cosx=0est équivalente à x=π2+kπ où k est un entier.

Bonne soirée.

SOS-math
sofiane

Re: Equation complexe un peu étrange

Message par sofiane » ven. 15 avr. 2011 16:39

Merci beaucoup !!!

Cordialement
Verrouillé