Bonsoir !
Alors voilà, je cherchais des exercices sur les nombres complexes et je suis tombé sur cette équation intrigante :
\(z^2 - 2cos(\theta)z + 1 = 0\)
Aucun corrigé l'accompagne malheureusement, d'où mon poste.
Voici ma réponse :
\(\delta = (-2cos(\theta))^2 - 4\)
\(\delta = 4cos^2(\theta) - 4\)
\(\delta = 4(cos^2(\theta) - 1)\)
Voyons cette égalité de plus près :
\((-1) \leq cos \theta \leq 1\)
\(1 \geq cos^2 \theta \geq 0\) "positivité" de la fonction carré sur R
\(0 \geq cos^2 \theta - 1 \geq -1\)
J'aurai pu aussi faire comme suit :
\(cos^2\theta + sin^2\theta = 1\) équivaut à \(cos^2\theta = 1 - sin^2\theta\)
et enfin \(\delta = 4(1 - sin^2 - 1) = -4sin^2\theta \leq 0\)
On peut dire que : \(\delta \leq 0\)
Et là, il y a un problème... Puisque notre cher discriminant n'est pas strictement négatif. J'en ai déduis qu'il n'existait tout simplement pas de solution. Mais en fait, juste derrière l'équation, on doit déduire les solutions de : \(z^4 - 2cos(\theta)z^2 + 1\). J'ai pensé qu'on doit tout simplement dire que \(Z = z^2\) puis \(Z^2 - 2cos(\theta)Z + 1 = 0\) et en déduire qu'il n'y existe aucune solution. J'en suis pas convaincu.
Merci par avance.
Equation complexe un peu étrange
-
sos-math(12)
- Messages : 476
- Enregistré le : mer. 11 mars 2009 15:32
Re: Equation complexe un peu étrange
Bonjour Ferad :
Tu dois donc mener une discussion selon que \(\delta=0\) (racine double réelle) ou \(\delta<0\) (racines complexes conjuguées).
Bonne continuation
Tu dois donc mener une discussion selon que \(\delta=0\) (racine double réelle) ou \(\delta<0\) (racines complexes conjuguées).
Bonne continuation
-
Ferad
Re: Equation complexe un peu étrange
Bonjour,
Effectivement, ça m'avait traversé l'esprit mais je n'avais pas osé.
J'ai trouvé donc :
\(z0 = cos\theta\)
\(z1 = cos \theta - isin\theta\)
\(z2 = \bar{z1} = cos\theta + isin\theta\)
Mais pourrait-on être un peu plus précis ? Du genre, définir les intervalles ou les solutions soient toujours vraies ?
C'est ce que j'ai tenté de faire mais j'ai un gros doute sur la pertinence de ce j'ai fait.
Je reprends donc notre ami \(\delta\) et je pose : \(f(\theta) = -4sin^2\theta\)
Une fonction définie et dérivable sur R.
\(\frac{dy}{dx} = -4 . 2cos\theta . sins\theta = -8cos\theta . sin\theta\) (j'arrive pas à écrire l'apostrophe)
Les fonctions cosinus et sinus sont \(2\pi\)-périodiques donc j'étudie sur l'ensemble \([0;\pi]\) qui sera une portion de la fonction f
\(cos\theta . sin\theta = 0 \mbox { si} cos\theta = 0 \Longrightarrow \theta = \pi / 2\)
De la on en déduis que
\(cos\theta . sin\theta \lt 0 \Longrightarrow \theta \lt \frac{\pi}{2}\)
\(cos\theta . sin\theta \gt 0 \Longrightarrow \theta \gt \frac{\pi}{2}\)
Donc \(f(\theta)\) est strictement décroissante sur \(]0;\frac{\pi}{2}[\) et strictement croissante sur \(]\frac{\pi}{2};\pi[\) et il en va donc de même pour \(\delta\)
Conclusion : z1 et z2 sont seulement valable pour \(\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[\cup]\frac{\pi}{2};\pi[\) et z0 pour \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
Après je suppose qu'il faut "exporter" les intervalles si je puis dire, mais je ne vois pas comment faire.
Bon je viens d'apercevoir que l'équation n'est pas nulle pour \(z0 = cos(\frac{\pi}{2})\)
Je crois que je viens de faire n'importe quoi..
Merci.
Effectivement, ça m'avait traversé l'esprit mais je n'avais pas osé.
J'ai trouvé donc :
\(z0 = cos\theta\)
\(z1 = cos \theta - isin\theta\)
\(z2 = \bar{z1} = cos\theta + isin\theta\)
Mais pourrait-on être un peu plus précis ? Du genre, définir les intervalles ou les solutions soient toujours vraies ?
C'est ce que j'ai tenté de faire mais j'ai un gros doute sur la pertinence de ce j'ai fait.
Je reprends donc notre ami \(\delta\) et je pose : \(f(\theta) = -4sin^2\theta\)
Une fonction définie et dérivable sur R.
\(\frac{dy}{dx} = -4 . 2cos\theta . sins\theta = -8cos\theta . sin\theta\) (j'arrive pas à écrire l'apostrophe)
Les fonctions cosinus et sinus sont \(2\pi\)-périodiques donc j'étudie sur l'ensemble \([0;\pi]\) qui sera une portion de la fonction f
\(cos\theta . sin\theta = 0 \mbox { si} cos\theta = 0 \Longrightarrow \theta = \pi / 2\)
De la on en déduis que
\(cos\theta . sin\theta \lt 0 \Longrightarrow \theta \lt \frac{\pi}{2}\)
\(cos\theta . sin\theta \gt 0 \Longrightarrow \theta \gt \frac{\pi}{2}\)
Donc \(f(\theta)\) est strictement décroissante sur \(]0;\frac{\pi}{2}[\) et strictement croissante sur \(]\frac{\pi}{2};\pi[\) et il en va donc de même pour \(\delta\)
Conclusion : z1 et z2 sont seulement valable pour \(\theta \in ]0;\frac{\pi}{2}[\cup]\frac{\pi}{2};\pi[\) et z0 pour \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
Après je suppose qu'il faut "exporter" les intervalles si je puis dire, mais je ne vois pas comment faire.
Bon je viens d'apercevoir que l'équation n'est pas nulle pour \(z0 = cos(\frac{\pi}{2})\)
Je crois que je viens de faire n'importe quoi..
Merci.
-
sos-math(20)
- Messages : 2461
- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: Equation complexe un peu étrange
Bonjour Ferad,
Votre discussion sur le signe de \(\delta\) me paraît bien compliquée :
\(\delta=0\) équivaut à \(sin \theta=0\) équivaut à \(\theta=k\pi\) où k est un entier : dans ce cas l'équation admet une racine réelle double qui est bien z=\(cos\theta\) (qui vaut +1 ou - 1 selon les valeurs de k).
Par contre, si \(\delta\ne0\) c'est à dire si \(\delta\ne k\pi\)alors il y a deux racines complexes conjuguées qui sont celles que vous avez données.
La résolution de cette équation s'arrête là et il n'y a pas lieu de considérer une fonction et ses variations comme vous l'avez fait.
Bonne journée.
SOS-math
Votre discussion sur le signe de \(\delta\) me paraît bien compliquée :
\(\delta=0\) équivaut à \(sin \theta=0\) équivaut à \(\theta=k\pi\) où k est un entier : dans ce cas l'équation admet une racine réelle double qui est bien z=\(cos\theta\) (qui vaut +1 ou - 1 selon les valeurs de k).
Par contre, si \(\delta\ne0\) c'est à dire si \(\delta\ne k\pi\)alors il y a deux racines complexes conjuguées qui sont celles que vous avez données.
La résolution de cette équation s'arrête là et il n'y a pas lieu de considérer une fonction et ses variations comme vous l'avez fait.
Bonne journée.
SOS-math
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sofiane
Re: Equation complexe un peu étrange
Bonjour
Désolé de vous dérangé dans ce post, cette équation est bien intérréssante en effet.Je voulais juste revenir sur l'équation Sin x = 0 <=> x = k *pi ,si on avait eu Cos x = 0 l'équivalence serait la même ou on aurait 2*k*pi pour résultat (Cos x=0 <=> x = 2*k*pi )
Cordialement
Désolé de vous dérangé dans ce post, cette équation est bien intérréssante en effet.Je voulais juste revenir sur l'équation Sin x = 0 <=> x = k *pi ,si on avait eu Cos x = 0 l'équivalence serait la même ou on aurait 2*k*pi pour résultat (Cos x=0 <=> x = 2*k*pi )
Cordialement
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sos-math(20)
- Messages : 2461
- Enregistré le : lun. 5 juil. 2010 13:47
Re: Equation complexe un peu étrange
Bonjour Sofiane,
L'équation \(cosx=0\)est équivalente à \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) où k est un entier.
Bonne soirée.
SOS-math
L'équation \(cosx=0\)est équivalente à \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) où k est un entier.
Bonne soirée.
SOS-math
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sofiane
Re: Equation complexe un peu étrange
Merci beaucoup !!!
Cordialement
Cordialement